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Criterio de concavidad y convexidad

Si f y f' son derivables en a, la función es:

Cóncava Si f''(a) < 0 Convexa Si f''(a) > 0

Hemos tomado elcriterio de que el valle tiene forma convexa y la montaña forma cóncava.
Es posible encontrar textos en los que se define la concavidad y la convexidad de maneraopuesta, usando el criterio de que el valle tiene forma cóncava y la montaña forma convexa.

Pero esta definición que damos no sólo alude a un criterio visual quepuede ser confuso desde el punto de vista del observador, sino que podemos dar una definición más precisa:

Una función es cóncava en un intervalo de su dominiocuando:
Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por debajo de lagráfica.

Una función es convexa en un intervalo de su dominio cuando:
Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos (x1,f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por encima de la gráfica.

Intervalos de concavidad y convexidad

Para calcular los intervalos la concavidad y convexidadde una función seguiremos los siguientes pasos:

 1  Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

 2  Formamos intervalos abiertos con los ceros(raíces) de la derivada segunda y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).

 3Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en laderivada segunda.
Si f''(x) < 0 es cóncava.
Si f''(x) > 0 es convexa.

4  Escribimos los intervalos:

Ejemplo