electricos 2

c Francisco Medina, Rafael R. Boix y Alberto P´erez Izquierdo

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´
PRACTICA
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FACTOR DE CALIDAD Y FACTOR DE ACOPLAMIENTO
DE CIRCUITOS RESONANTES

1.

Objetivos

El primer objetivo de esta pr´actica es introducir el concepto de factor de calidad (o, su inverso, la tangente
de p´erdidas o factor de disipaci´on) de un sistema el´ectrico resonante y disipativo, as´ı como t´ecnicaspara
su medida. De este modo, se obtendr´a el factor de calidad de forma directa a partir de medidas de la
frecuencia de resonancia y del ancho de banda 3 dB de la l´ınea de resonancia. Se introducir´a un m´etodo
m´as elaborado, el denominado m´
etodo de Pauli, para extraer el factor de calidad intr´ınseco (unloaded
Q factor en la literatura anglosajona) de un circuito resonante simple.
Porotra parte, se estudiar´a el comportamiento de circuitos oscilantes id´enticos acoplados, y se ver´a c´omo
es posible extraer de algunos par´ametros de la respuesta de tales circuitos el coeficiente de acoplo inductivo.
Los conceptos que se ilustran en esta pr´actica con el caso particular de circuitos LC-paralelo son aplicables
a cualquier sistema de osciladores arm´onicos disipativos y/oacoplados sea cual fuere su naturaleza.

2.
2.1.

Fundamento te´
orico
Factor de calidad

Consideremos un circuito resonante con p´erdidas formado por la asociaci´on en paralelo de una autoinducci´on
de valor L (medida en henrios = H) y una capacidad de valor C (medida en faradios = F). La disipaci´on
de energ´ıa puede modelarse mediante la conexi´on en paralelo con el circuito resonante deuna conductancia
Gp (medida en siemens = S = Ω−1 ) que da cuenta de las p´erdidas en el circuito resonante debidas a
cualquier causa (p´erdidas por efecto Joule en la bobina, p´erdidas diel´ectricas en el aislante del condensador
o p´erdidas por radiaci´on). Si los circuitos externos de excitaci´on y/o medida tambi´en introducen p´erdidas,
´estas aparecer´an incluidas en Gp , salvo que seanexpl´ıcitamente extra´ıdas en el proceso de medida o porque
se conoce la contribuci´on de los elementos externos.
Supongamos que el circuito LC es excitado por una fuente de tensi´on sinusoidal (de frecuencia f y frecuencia
angular ω = 2πf ) cuyo equivalente Norton se muestra en la figura 1 (observe que la conductancia del
equivalente Norton de la fuente es Gps ; si este par´ametro es peque˜
no,esto es, si la correspondiente resistencia
es muy elevada, el generador se comporta casi como una fuente ideal de intensidad). La relaci´on entre los
fasores de la tensi´on, V , y de la intensidad, I, para el circuito resonante viene dada por:
V (ω) =

(1 −

iωL
I = Z(ω) I
+ iωLGp

ω 2 LC)

donde Z es la impedancia, compleja y dependiente de ω, del circuito, y Gp = Gpp + Gps (estoes, la
conductancia paralelo total es la suma de las contribuciones del generador, Gps , y del circuito resonante

c Francisco Medina, Rafael R. Boix y Alberto P´erez Izquierdo

|V|max

|V|

I cos(wt)

0,7 |V|max

Gpp
Gps

C

2

+

V
-

L

Dw

w- w0 w+

w

Figura 1: Circuito LC resonante con p´erdidas (Gp ) y respuesta t´ıpica.
√
que se mide, Gpp ). La frecuenciaangular ω0 = 1/ LC es la denominada frecuencia (angular) de
resonancia. A esta frecuencia, la impedancia del circuito LC-paralelo se hace real (y usualmente grande,
pues t´ıpicamente, aunque no siempre, Gp es una conductancia relativamente peque˜
na) y la amplitud de la
respuesta (tensi´on en este caso) se hace m´axima. Introduciendo un par´ametro adimensional (y t´ıpicamente
peque˜
no)denominado tangente de p´
erdidas o factor de disipaci´
on:
tan δk = a =
y la frecuencia normalizada
ω
¯=

L
Gp
C

ω
f
=
ω0
f0

podemos escribir:

ω
¯a

|V (ω)| =

(1 −

ω
¯ 2 )2

+

ω
¯ 2 a2

1
|I|
Gp

En la gr´afica que aparece al lado del circuito en la figura 1 se muestra el aspecto t´ıpico de la dependencia
con la frecuencia de la amplitud de la tensi´on...