Electricty

Capítulo 4 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 4.1 OBJETIVO Presentar uno de los métodos más efectivos para resolver sistemas de ecuaciones integro-diferenciales simultáneas de coeficientes constantes que describen completamente el comportamiento de circuitos lineales e invariantes con el tiempo. El método posee las siguientes ventajas: Reduce el problema a la solución de ecuaciones algebraicas lineales.Se aplica tanto a circuitos propios como impropios. Introduce el estado energético inicial en t = 0- desde el principio y, por tanto: No requiere la determinación del estado energético inicial en t = 0+ para circuitos impropios. No es necesario evaluar el valor de la respuesta y de sus derivadas temporales de orden superior en t = 0+ ni constantes arbitrarias. Permite encontrar en una solaoperación la solución total (es decir, la particular y la función complementaria).

4.2

DEFINICIÓN

La transformación de Laplace asocia a una función real del tiempo f(t) definida en el intervalo [0, 4] otra función F(s) de acuerdo a la ecuación

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LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

(4-1)

donde la variable s en (4-1) se denominala frecuencia compleja. (4-1) es válida únicamente para valores de s (puntos del plano complejo) para los que la integral sea finita, cuyo lugar geométrico se conoce con el nombre de REGIÓN DE CONVERGENCIA. Reemplazando (4-1b) en (4-1a) se obtiene: (4-2) La integral (4-2) puede considerarse como el límite de una suma de números complejos (vectores con diferentes orientaciones). La magnitud de laresultante es menor o igual a la suma de las magnitudes de cada uno de los vectores componentes de la suma ya que esto es equivalente a sumar vectores con la misma orientación y sobre el mismo eje. Se puede expresar este hecho matemáticamente de la siguiente manera:

(4-3) donde en la segunda integral efectuando sobre el mismo eje y sentido. Es evidente entonces que para que *F(s)* sea finito f(t)debe satisfacer dos condiciones suficientes (pero no necesarias). 1. Que la función sea acotada, es decir que cada uno de los "vectores" componentes en la segunda integral en (4-3) sean finitos, es decir, deben existir dos números M y tales que (4-4) 2. (4-5)
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garantiza que la suma se está que todos los vectores tienen el mismo

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LATRANSFORMADA DE LAPLACE Nótese que (4-5) se cumple siempre y cuando

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. Por esta razón

se conoce con el nombre de abcisa de convergencia de F(s). Debido a que la mayoría de las funciones que se consideran en el análisis y diseño de redes eléctricas satisfacen (4-4) y (4-5) se supone en lo sucesivo que ellas son transformables. Aunque pueda parecer a primera vista que la integral (4-1)es difícil de evaluar, realmente no lo es. Además, para la mayoría de funciones de interés se conocen sus transformadas de Laplace, las cuales se encuentran tabuladas y no es necesario evaluarlas cada vez que se presenten, por lo que (4-1) se utiliza muy poco en la práctica.

4.3 PROPIEDADES BÁSICAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Si f(t) / 0 œ t < 0 y es transformable, es decir, satisface (4-4) y(4-5) se pueden obtener algunos resultados útiles que se derivan de la definición (4-1) integrando por partes cuando sea necesario.

LINEALIDAD Si " y ß son constantes escalares: (4-6) TRANSFORMADA DE UNA DERIVADA

(4-7) Nótese que (4-7) es válida únicamente si

(4-8) lo cual es consecuencia de la regla de L'Hospital siempre y cuando f(t) y sus derivadas sucesivas sean finitas en t = 4 yRe(s) > 0.
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Generalizando

(4-9)

donde

denota la k-ésima derivada de f(t) evaluada en t = 0-

TRANSFORMADA DE UNA INTEGRAL (4-10)

MULTIPLICACIÓN POR TIEMPO

Generalizando: (4-11)

CAMBIO DE ESCALA Si " es una constante real positiva (4-12)

TRASLACIÓN COMPLEJA Si " es una constante...