Electro

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2. MECANICA CUANTICA DE SISTEMAS ELEMENTALES. 2.1. MOVIMIENTO TRASLACIONAL. LA PARTÍCULA LIBRE. Partícula de masa m moviéndose en la dimensión x no sometida a fuerzas externas: V(x) = 0

Operador hamiltoniano del sistema: La ecuación de Schrödinger: O bien:

ˆ H =−

h2 d 2 2m dx 2

h 2 d 2ψ − = Eψ 2m dx 2 d 2ψ dx 2 =− 2mE h2

ψ

Esta ecuación diferencial tiene 2 tipos desoluciones independientes:

ψ1 = Ae

+

i 2 mE x h

ψ2 = Be

−

i 2 mE x h

Ambas son las funciones de una onda plana con longitud de onda λ = -Momento de la partícula: Si aplicamos el operador momento, p x : ˆ

h 2mE

p xψ 1 = −ih ˆ

∂ψ 1 = 2mE ψ 1 ∂x

p ˆ xψ 2 = −ih

∂ψ 2 = − 2mE ψ 2 ∂x

ψ1 y ψ2 son autofunciones del operador p x con autovalores + 2mE y − 2mE ˆrespectivamente. ψ1 representa la partícula moviéndose en la dirección +x, mientras que ψ2 representa la partícula moviéndose en la dirección –x. Como no se especifican más condiciones, la energía de la partícula libre puede tomar cualquier valor, es decir, no está cuantizada. Existen infinitas autofunciones ya que existen infinitos valores posibles para la energía.

2

-Densidad de probabilidad y elPrincipio de Incertidumbre

ψ 1*ψ 1 = A* A

ψ 2*ψ 2 = B* B

En los dos casos la función densidad de probabilidad es constante. La densidad probabilidad de encontrar la partícula en cualquier punto del espacio es siempre la misma. Esto significa que para una partícula libre cuyo estado está
descrito por cualquiera de las funciones de onda ψ1 o ψ2, la posición de la partícula está completamenteindeterminada.

Esto es lógico ya que cualquiera de las autofunciones ψ1 o ψ2 son autofunciones del operador p x y por tanto la incertidumbre en el momento ∆px=0. ˆ Si en un instante dado se mide la posición de la partícula con exactitud (por ejemplo x = 4). La medida perturba al sistema y la función de onda pasará a contener esa información. La función se puede describir entonces como unasuperposición de todas las infinitas autofunciones ψ1 y ψ2 con todos los valores posibles del momento px. Se pierde la información sobre el
0 2 4 6 8

momento

que

queda

completamente

x
∆x

indeterminado. ∆px = ∞ En una medida con precisión

intermedia con un error ∆x, la función será una superposición de algunas de las autofunciones. Se cumple siempre:
0 2 4 6 8

∆x·∆px ≥ h/2

xVER TAMBIÉN CAPÍTULO 11.6 DE: -Atkins, P.W. “Físicoquímica” Oxford University Press.

3

2.2. PARTÍCULA EN UNA CAJA DE POTENCIAL.

Supongamos una partícula de masa m dentro de una caja de potencial monodimensional.
V=∞

V=∞

V(x) = 0 (0 < x < L) V(x) = ∞ (x = 0, x = L)

V(x) = 0
0 x

L

-Condiciones de contorno del sistema: ψ(x=0) = 0 ψ(x=L) = 0

(No es posible encontrar lapartícula donde la energía potencial es infinita.) Dentro de la caja, la ecuación de Schrödinger es la misma que la de la partícula libre:
h 2 d 2ψ − = Eψ 2m dx 2

Las soluciones a la ecuación son las mismas. Sin embargo, las soluciones deben ser aceptables. En este caso ψ debe ser continua en los límites de la caja: x → 0 ó x → L, ψ → 0. Ni ψ1 ni ψ2 cumplen individualmente esa condición.

4Hay que buscar soluciones que sean aceptables. Se pueden combinar
ˆ linealmente autofunciones de H con el mismo autovalor (la misma energía):

ψ = Ae

+

i 2 mE x h

+ Be

−

i 2 mE x h

O bien, usando las fórmulas de Euler:

eiα = cos α + i sen α
 2mE  h

e − iα = cos α − i sen α
 x ;  

ψ = C cos 

 2mE  x  + iDsen  h   

C = A+B

D = A–B

Ahoraimponemos las condiciones de contorno: 1) 2)

ψ ( x = 0) = C cos 0 + D sen 0 = C = 0 ⇒

C =0 2mE L = ± nπ h
n=1,2,3,...

ψ ( x = L ) = iDsen 

 2mE  L = 0  h   En = h2 8 mL
2

⇒

Despejando E:

n2 ;

n=1,2,3,...

La energía de la partícula en una caja de potencial está cuantizada. Sólo puede tomar ciertos valores discretos, En, que dependen del número entero n...