Electrodinamica

Se revisa la formulación Lagrangiana de un sistema de partículas en presencia de un campo electromagnético y usando la invariancia ante transformaciones de fase se obtiene una ecuación de Schrödinger modificada. Se puede inferir entonces la existencia de un “bosón de fase” que no es otra cosa que el fotón.
                                                    Abstract
The Lagrangian formulationfor a system of particles immersed in an electromagnetic field is revised and then using the invariance under phase transformations, a modified Schrödinger equation can be obtained. From here it is possible to infer the existence of a “phase boson” that is nothing else than the photon.
 
Palabras clave:          Teoría de Norma, Electrodinámica, Mecánica Cuántica.
Keywords:                 GaugeTheory, Electrodynamics, Quantum Mechanics.
                                              
 
1 INTRODUCCIÓN
El cálculo de variaciones es una de las más poderosas herramientas de la Física Moderna, debido a la simplicidad de sus conceptos [1].  Aquí se propone la deducción, usando el principio variacional de Hamilton, de una ecuación de Schrödinger “modificada” que tome en cuenta lainteracción electromagnética entre las partículas.  Primero en la sección 2 hacemos una breve introducción del principio variacional de Hamilton para una partícula.  Luego explicamos cómo se puede generalizar este método para tratar con campos, siguiendo como ejemplo la derivación de las ecuaciones de Maxwell.  Usamos el Principio de Correspondencia [2] como una traducción de variables dinámicas poroperadores cuánticos, en la sección 3, escribimos la densidad Lagrangiana  para partículas cuánticas lentas (y también sin spin), la cual llamaremos la “Densidad Lagrangiana de Schrödinger” que representaremos por .  De esta obtendremos las ecuaciones de campo de la partícula, estas son:  La ecuación de Schrödinger, la ecuación de conservación de la energía, la ley de Newton de fuerza-impulso y laecuación de conservación de la densidad de probabilidad o ecuación de continuidad.  Esta última ecuación se obtiene imponiendo la invariancia de la densidad Lagrangiana bajo Transformaciones de Norma de Fase (en lo que sigue: TF) del tipo U→U exp(iα) con α constante. Luego en la sección 4, imponemos la invariancia de  bajo transformaciones de norma de fase generalizadas [3]; con α = α(qk,t) donde qk  sonlas coordenadas generalizadas y t el tiempo.  Como una consecuencia de esto se tiene un nuevo invariante ante tales transformaciones de norma, el cual acopla la ecuación de Schrödinger de partícula libre con el campo electromagnético.  Así, de éste nuevo  se recuperan la ley de Lorentz para la fuerza, la ley de Gauss para el campo magnético y la Ley de Faraday.  Para obtener las otras dosecuaciones de Maxwell se añade, a la inicial, una nueva densidad Lagrangiana, invariante ante transformaciones de Norma de Fase Variables (TFV, de aquí en adelante).  Este desarrollo permite  un primer contacto con el estudio de algunos conceptos básicos de las interacciones electromagnéticas entre partículas a un nivel cuántico sin hacer uso de la ecuación de Klein-Gordon o del formalismo spinorial deDirac de la Electrodinámica Cuántica [4].
2 UN BREVE REPASO DEL PRINCIPIO DE HAMILTON
Como es bien sabido [1], el principio de Hamilton es un principio variacional que establece  que si una partícula en algunos instantes t0 y t1 pasa por los puntos a y b entonces su trayectoria y todas sus propiedades dinámicas son tales que; la Acción W, definida en términos delLagrangiano L=K-V=L(qk, k, t); con qk  las coordenadas generalizadas, K la energía cinética y V el potencial. Como,
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tiene un valor extremal , ello significa que la variación de W, manteniendo fijos a y b es cero para la trayectoria real, es decir δW=0.  Entonces, al imponer la condición extremal se encuentra que para que δW sea cero, se deben satisfacer las ecuaciones de Lagrange, las cuales son
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