Electromagnetismo

POLARIZACIÓN DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO

CARLOS S. CHINEA

POLARIZACIÓN DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO
Vemos a continuación cómo el campo eléctrico y también el campo magnético se polarizan elípticamente, a partir de la expresión matemática de las ondas electromagnéticas y del hecho de que cada uno de estos campos se propaga en un plano (ver “Ecuaciones de las ondas electromagnéticas”, en estamisma web).

0. Introducción: Sabemos del trabajo de estudio de las Ecuaciones de las Ondas Electromagnéticas que las soluciones de las ecuaciones de onda son de la forma

r r r r E = Re Γe .e jwt = E r cos ωt − Ei senωt ,

[

]

r r r r H = Re Γh .e jwt = H r cos ωt − H i senωt r r r r

[

]

Siendo j la unidad imaginaria de los números complejos, y los vectores E r , E i queaparecen en la expresión del vector campo eléctrico, así como los vectores H r , H i de la expresión del vector campo magnético verifican que

r r r Γe = E r + j.Ei
Las ecuaciones E = E r cos ωt − E i senωt ,

r r r Γh = H r + j.H i r r r H = H r cos ωt − H i senωt
[1]

r

r

r

nos indican que el vector campo eléctrico se mantiene siempre en un mismo plano y el vector campo magnético semantiene también en un mismo plano, distinto en general del anterior. Lo que vamos a ver ahora es que tanto el campo eléctrico como el campo magnético describen en el tiempo una elipse cada uno en su plano de propagación, es decir, que el campo electromagnético sufre una polarización elíptica. Puesto que la expresión de ambos campos es la misma, haremos el cálculo solamente con el campo eléctricoy extenderemos el resultado al campo magnético por analogía.

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CARLOS S. CHINEA

En la figura hemos colocado un sistema de referencia en el plano de propagación del campo eléctrico, y hemos llamado α y β a los ángulos que sobre uno de los ejes del sistema definen ambos vectores E i y E r , respectivamente.

r

r

1. Polarización. La elipsede polarización. Si llamamos Eε y

E µ a las componentes del campo eléctrico en el sistema de
r E = (Eε , Eµ ) r Er = (Er cos β , Er senβ ) r Ei = (Ei cos α , Ei senα )

referencia de la figura, se tiene que podemos expresar los vectores en la forma:

Sustituyendo en la ecuación vectorial [1]:

r r r E = Er cos ωt − Ei senωt = (Er cos β , Er senβ ). cos ωt − (Ei cos α , Ei senα ).senωt == (Er cos β cos ωt − Ei cos αsenωt , Er senβ cos ωt − Ei senαsenωt ) = (Eε , Eµ )

O sea, se tiene para la expresión de las componentes del campo eléctrico en dicho sistema:

Eε = Er cos β cos ωt − Ei cos αsenωt Eµ = Er senβ cos ωt − Ei senαsenωt
Veamos que tanto

[2]

Eε como E µ pueden expresarse en la forma Eε = Eε 0 . cos(ϕ ε + ωt ) E µ = E µ 0 . cos(ϕ µ + ωt )

Es decir, el vectorcampo eléctrico describe una elipse en el tiempo. Bastará comprobar que las constantes introducidas,

Eε 0 , E µ 0 , ϕ ε , ϕ µ , se obtienen

inmediatamente desde las expresiones [2], esto es, en función de

α , β , Ei , E r :

Eε = E r cos β cos ωt − Ei cos αsenωt = Eε 0 . cos(ϕ ε + ωt ) E µ = E r senβ cos ωt − Ei senαsenωt = E µ 0 . cos(ϕ µ + ωt )

[3] [4]

Si hacemos en [3]:

ωt =0 → Er cos β = Eε 0 . cos ϕε

[3.1]
2

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CARLOS S. CHINEA

ωt =

π

π  → − Ei cos α = Eε 0 . cos ϕε +  = − Eε 0 .senϕε 2 2 

[3.2]

Si hacemos en [4]:

ωt = 0 → E r senβ = E µ 0 . cos ϕ µ
ωt = π π  → − Ei senα = Eµ 0 . cos ϕ µ +  = − Eµ 0 .senϕ µ 2 2 
senϕε E cos α E cos α = i → tgϕε = i cos ϕε Er cos β Er cos β
senϕ µ cosϕ µ = E senα Ei senα → tgϕ µ = i Er senβ Er senβ

[4.1]
[4.2]

Si dividimos [3.2] por [3.1]:

Si dividimos [4.2] por [4.1]:

Elevamos al cuadrado [3.2] y [3.1] y sumamos a continuación:

Eε20 . cos 2 ϕε + Eε20 .sen 2ϕε = Er2 . cos 2 β + Ei2 . cos 2 α → → Eε20 = Er2 . cos 2 β + Ei2 . cos 2 α → Eε 0 = + Er2 . cos 2 β + Ei2 . cos 2 α

Elevamos al cuadrado [4.2] y [4.1] y sumamos a...