Electromagnetismo

APUNTES DE ELECTROMAGNETISMO

Raimundo Villarroel Valencia

CAPÍTULO 1
FUNDAMENTOS DE ANÁLISIS VECTORIAL

El análisis vectorial es el apoyo fundamental para comprender los
diversos principios y fenómenos del electromagnetismo, que aparecen profusamente en
numerosas aplicaciones de la Ingeniería Eléctrica y la Ingeniería Electrónica.
1.1

ESCALARES Y VECTORES

Cuando estudiamos losfenómenos de la naturaleza nos encontramos con
variables de distinto tipo que permiten describir y estudiar dichos fenómenos. Así
distinguimos, por ejemplo, entre las variables de tipo escalar y las de tipo vectorial
Un variable escalar es aquella que puede ser descrita o caracterizada
completamente, especificando su valor o magnitud (positiva o negativa). A modo de
ejemplo podemos citar:temperatura, tiempo, masa, trabajo, potencial eléctrico, etc.
Una variable vectorial es aquella que para ser completamente descrita o
caracterizada, requiere especificar la magnitud de la variable y su sentido. En nuestro
caso hablamos del “sentido”, como la orientación de la variable en el espacio. A modo
de ejemplo podemos citar: fuerza, velocidad, aceleración, intensidad de campo eléctrico,densidad de flujo magnético, etc.
Para representar de manera inequívoca estas variables debemos usar una
notación que distinga unas de otras.
# para las variables escalares, o simplemente escalares, utilizaremos letras simples
mayúsculas o minúsculas; por ejemplo: A, B, C,……a, b, c, ….. α, β, γ, etc., etc.
# para las variable vectoriales, o simplemente vectores, utilizaremos letras mayúsculas ominúsculas con uno de dos símbolos encima que son:
     
• para vectores de cualquier valor o magnitud: A, B, C....a, b, c..... ,  , .....etc.

ˆ ˆ ˆ ˆˆˆ  ˆ
• para vectores de magnitud unitaria: A, B, C....a, b, c..... ˆ ,  , .....etc.
Para representar gráficamente los vectores usaremos flechas.
Cada vez que mencionamos la orientación de un vector en el espacio
surgen laspalabras “dirección” y “sentido”. Precisaremos, ahora, el significad o
particular de esos términos en el contexto de este curso. Por “dirección” nos referimos a
la orientación de una línea recta en el espacio sobre la cual se ubica el vector. Por
ejemplo un vector de velocidad puede tener una “dirección vertical”. A lo larg o de una
dirección tenemos dos posibles “sentidos” que son mutuamenteopuestos. Siguiendo con
el mismo ejemplo, a lo largo de la dirección vertical tenemos el sentido descendente y el
sentido ascendente.
1. 2

RELACIONES BÁSICAS ENTRE VECTORES

1.2.1. Suma Vectorial
Es válido plantear la suma entre vectores; por ejemplo:

AB C
Esta operación suma, o adición, cumple con algunas propiedades:


A  B  B A
• propiedad conmutativa:
 

•propiedad asociativa: A  (B  C)  (A  B)  C
La resta o sustracción entre vectores corresponde a:


A  B  A  (B)

Capítulo1: “Fundamentos de Análisis Vectorial”

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Raimundo Villarroel Valencia

Esto significa que la resta es, básicamente, una suma con uno de los
vectores en sentido opuesto al original.

Si tenemos dos vectoresiguales, o sea si A  B ello significa

que A - B  0 .
Si tenemos dos valores escalares α y β entonces la multiplicación por
escalares significa:





(   )(A  B)  A  B  A  B
1.2.2. Multiplicación entre Vectores
En esta operación hay que distinguir dos situaciones:
# Producto “escalar” o producto “punto”, operación cuyo resultado es escalar. Se
  
definecomo:
A  B  A B cos( )


Siendo: A la magnitud de A


B la magnitud de B , y

θ el menor ángulo entre A y B (0º≤θ ≤ 180º); debido al rango de θ, entonces
cosθ puede ser positivo o negativo.


A
A
Θ90º


B


B

Figura 1-1
En la figura 1-1 se aprecia dos situaciones. En una de ellas el ángulo θ es
menor de 90º. Por lo tanto cos(θ) es positivo y el producto punto...