Electronica

BENEMERITA UNIVERSIDAD AUTONOMA DE PUEBLA

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ELECTRONICA

CONTROL III
REGULADOR OPTIMO CUADRATICO

PROFESOR:

M.C. SOLIS SALAZAR JUAN MAUEL



ALUMNOS:

CAMACHO SANCHEZ FELIPE

MORALES VAZQUEZ JUAN

ROMAN JUAREZ JOSE LUIS

OTOÑO 2010

INTRODUCCION
Al diseñar un sistema de control óptimo o un sistema de regulador óptimo, se necesita determinaruna regla para determinar la regla de decisión presente, sujeta a ciertas restricciones, para minimizar alguna medida de la desviación de un comportamiento ideal. En la mayoría de los casos, el comportamiento del sistema se hace optimo al escoger el vector de control u(k) de tal forma que el índice de desempeño se minimice o maximice dependiendo de la naturaleza del índice de desempeñoseleccionado.
El proceso de optimización no solo debe proveer leyes de control optimo y configuraciones de los parámetros, sino debe predecir la degradación en el desempeño debido a cualquier desvío del valor mínimo o máximo de la función del índice de desempeño que resulta cuando se aplican leyes de control no optimo.

Un ejemplo de un problema de control optimo con solución analítica es el problema decontrol optimo de sistemas lineales basados en índices de desempeño cuadrático.

Control optimo cuadrático
El problema de control óptimo cuadrático se puede enunciar como sigue. Dado un sistema de control lineal en tiempo discreto

Donde

Encuentre la secuencia de control optima u(0), u(1), u(2),…..,u(N-1) que minimiza un índice de desempeño cuadrático. Un ejemplo de índice de desempeñocuadrático para un proceso de tiempo (0≤k≤N) es

Donde

Las matrices Q, R y S se seleccionan para valorar la importancia relativa de la contribución en el desempeño debida al vector de estado x(k)( k=1,2,3,…,N-1), al vector de control u(k) (k=0,1,2,…,N-1) y al estado final x(N), respectivamente.

El estado inicial del sistema esta en un valor arbitrario x(0)=c. El estado final x(N), puede serfijo, en cuyo caso el termino 12x*NSx(N) se elimina del índice de desempeño de la ecuación y en su lugar se impone la condición terminal xN=xf, donde xf es el estado terminal fijo. Si el estado terminal x(N) no es fijo, entonces el primer término de la ecuación representa el peso de la contribución en el desempeño debida al estado final.

La razón de incluir las variables de control u(k) en elíndice de comportamiento se debe a razones energéticas como se mencionó anteriormente, lo cual es muy importante puesto que minimiza la energía de las señales de entrada que son las que realizan los actuadores, y por lo tanto, son las que cuestan capital (recursos).
Si el problema es de estado estacionario, es decir, si se desea hacer un control de proceso durante todo momento sin restricciones (N ≈∞), podemos omitir el primer término del lado derecho de la ecuación del índice ya que tiende a cero (corresponde al costo terminal del estado final); esto es así porque en un problema de minimización se desea que x(N) esté tan cerca del origen como sea posible. También se debe considerar si el estado fina x(N) no es fijo.
La ventaja de utilizar el esquema de control óptimo cuadrático es que elsistema diseñado será asintóticamente estable, excepto para algunos casos especiales.
Normalmente las matrices H, Q y R son matrices diagonales con ij = 0 si i j y además son matrices definidas positivas. Cuando hay alguna variable que no se desea minimizar entonces se hace el correspondiente término ij = 0.
En general, en todos los índices de comportamiento los coeficientes de las matrices Q y Rinciden directamente sobre los valores de las señales del sistema x(k) y u(k); cuanto mayores sean los coeficientes, más se optimiza la variable que corresponda. Es decir, por ejemplo, cuanto más se desee limitar la excursión de una cierta variable de control uj, mayor se escogerá el elemento
rii de la matriz R.
Si la matriz R aumenta, las ganancias disminuyen y también disminuye el costo...