electronica

Integrales trigonométricas

VII
INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS

Áreas 1, 2 y 3

Diez fórmulas más habrán de agregarse al formulario actual de integrales del estudiante.
Son seis correspondientes a las seis funciones trigonométricas seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, y cuatro más correspondientes a las inversas de las derivadas de las seis
funciones trigonométricas. Estoúltimo se refiere a que si la derivada de la tangente es la secante
cuadrada, entonces la integral de la secante cuadrada es la tangente.

(17)

∫

sen u du = − cos u + c

(18)

∫

cos u du = sen u + c

(19)

∫

tanu du = ln secu = − ln cos u + c

(20)

∫

cot u du = ln sen u + c

(21)

∫

sec u du = ln ( tan u + sec u ) + c

72

Integrales trigonométricas(22)

∫

csc u du = ln ( csc u − cot u ) + c

(23)

∫

sec 2 u du = tanu + c

(24)

∫

csc 2 u du = − cot u + c

(25)

∫

tanu secu du = secu + c

(26)

∫

cot u cscu du = − csc u + c

Como en todos los casos de fórmulas nuevas, para emplearlas debidamente debe hacerse
un cambio de variable, en donde u es el argumento de la función trigonométrica.

Ejemplo 1:Integrar
Solución:

∫

sen 9 x dx

En este caso el argumento es 9x, o sea que
u = 9x ,
du = 9dx

de donde

Para tener la diferencial du hay que multiplicar por 9; pero para que no se altere la integral
original también debe dividirse entre 9, de modo que:

∫

sen 9 x dx =

1
9

∫

sen 9 x [9 dx ]

sen u

73

du

Integrales trigonométricas

=

∫

Ejemplo 2:Integrar
Solución:

1
9

sen 9 x dx = −

∫ ( 3x − 2 ) tan ( 3x

2

∫

sen u du =

1
[ − cos u ] + c
9

1
cos 9 x + c
9

− 4 x + 11) dx

En este caso el argumento es 3x 2 - 4x + 11 , o sea que
u = 3x 2 - 4x + 11 ,
du = (6x - 4)dx

de donde

Para tener la diferencial du hay que multiplicar por 2; pero para que no se altere la integral
original también debe dividirse entre2, de modo que:

∫ ( 3x − 2 ) tan ( 3x

2

− 4 x + 11) =

1
2

∫

tan ( 3 x 2 − 4 x + 11) ⎡ 2 ( 3 x − 2 ) dx ⎤
⎣
⎦

=

1
2

∫

tan ( 3 x 2 − 4 x + 11) ( 6 x − 4 ) dx

tan u

=

74

1
ln sec u + c
2

du

Integrales trigonométricas

∫ ( 3x − 2 ) tan ( 3x

2

− 4 x + 11) dx =

1
ln sec ( 3 x 2 − 4 x + 11) + c
2

COMPROBACIÓN:
Para efectos de abreviarsímbolos al momento de referirse a la derivada del resultado de la
integral, hágase I =

1
ln sec ( 3 x 2 − 4 x + 11) + c .
2

Entonces

⎡ d
sec ( 3 x 2 − 4 x + 11)
dI
1 ⎢ dx
= ⎢
dx
2 ⎢ sec ( 3 x 2 − 4 x + 11)
⎣

⎤
⎥
⎥+0
⎥
⎦

d
⎡
2
2
2
⎢ tan ( 3 x − 4 x + 11) sec ( 3 x − 4 x + 11) dx ( 3 x − 4 x + 11)
1
= ⎢
2 ⎢
sec ( 3 x 2 − 4 x + 11)
⎣
2
2
1 ⎡ tan ( 3 x − 4 x+ 11) sec ( 3 x − 4 x + 11) ⎡( 6 x − 4 ) ⎤
⎣
⎦
= ⎢
2
2 ⎢
sec ( 3 x − 4 x + 11)
⎣
2
2
1 ⎡ 2 ( 3 x − 2 ) tan ( 3 x − 4 x + 11) sec ( 3 x − 4 x + 11)
= ⎢
2 ⎢
sec ( 3 x 2 − 4 x + 11)
⎣

75

⎤
⎥
⎥
⎦

⎤
⎥
⎥
⎦

⎤
⎥
⎥
⎥
⎦

Integrales trigonométricas

dI
= ( 3 x − 2 ) tan ( 3 x 2 − 4 x + 11)
dx

EJERCICIO 25 (Áreas 1, 2 y 3)
Realizar las siguientes integrales:1)

∫

sen 13 x dx

2)

∫

cos 4 x dx

3)

∫

tan ( 4 − 9 x ) dx

4)

∫

cot (17 x + 6 ) dx

5)

∫

sec (11x + 12 ) dx

6)

∫

csc (1 − 5 x ) dx

7)

∫ ( x − 5) sen ( x

8)

∫ ( 3x + 3) cos ( 5 x

9)

∫ ( 2 x − 3) tan ( 7 x

10)

∫ (x

11)

∫ (6x

12)

∫

14)

∫

2

2

− 10 x + 1) dx
2

− 21x + 9 ) dx

2

2

+ 10 x + 10 )dx

+ 6 x ) cot ( x 3 + 9 x 2 − 15 ) dx

− 6 x + 3) sec ( 8 x3 − 12 x 2 + 12 x − 13) dx

5
2x

sen

13)

11
⎛ 9 ⎞
tan ⎜ 2 ⎟ dx
3
x
⎝ x ⎠

76

∫

7
⎛ 3 ⎞
cos ⎜ ⎟ dx
2
x
⎝ x ⎠

15)

2 x dx

∫

2
⎛ 5 ⎞
csc ⎜ 3 ⎟ dx
4
x
⎝ x ⎠

Integrales trigonométricas

TÉCNICAS Y RECURSOS DE INTEGRACIÓN (Área 2)
Para integrar cualquier otra función trigonométrica...