electronica

Tema 9. Transformada de Fourier
Prof. William La Cruz Bastidas
28 de junio de 2002

Tema 9

Transformada de Fourier
A continuaci´n introduciremos el concepto de transformada de Fouriercontinua. De ahora en
o
adelante, denotaremos con j la unidad imaginaria.

9.1

Transformada de Fourier

Sea x(t) una se˜ al continua. Se define la transformada de Fourier de x, denotada con X(ω),como
n
la funci´n
o
∞
X(ω) =
x(t)e−jωt dt
(9.1)
−∞

que est´ definida en y toma valores complejos. Para que la transformada de Fourier de una se˜ al
a
n
x(t) exista (en forma ordinaria nocomo funci´n generalizada), x debe satisfacer las siguientes
o
propiedades denominadas condiciones de Dirichlet:
(1) x(t) es absolutamente integrable, esto es,
∞

|x(t)| dt < ∞.
−∞

(2) x(t)posee un n´ mero finito de discontinuidades en cualquier intervalo finito.
u
Ejemplo 9.1 Sea

−3t,

x(t) = t + 1,


3

t≤0
0 1.

Se observa que x(t) no es absolutamente intebrable, porlo tanto su transformada de Fourier no
existe.
Ejemplo 9.2 Sea x(t) = e−at u(t), con a > 0. Calcular la transformada de Fourier de x(t).
Soluci´n. Es claro que x(t) es continua en
o

y

∞

∞|x(t)| dt =
−∞

0

1

e−at < ∞.

2

TEMA 9. TRANSFORMADA DE FOURIER
Por lo tanto, X(ω) existe y viene dada por
∞

X(ω) =
−∞
∞

=
−∞
∞

=

x(t)e−jωt dt
e−at e−jωt dte−(a+jω)t dt

−∞

1
e−(a+jω)t
(a + jω)
1
.
(a + jω)

= −
=

∞
0

Ejemplo 9.3 Calcular la transformada de Fourier de δ(t).
Soluci´n. Como δ(t) no es una funci´n continua en todo y, adem´s,es una funci´n generalizada,
o
o
a
o
su transformada de Fourier no existe en forma ordinaria. Para remediar esto es conveniente
generalizar el concepto de transformada de Fourier, lo cual sehar´ simplemente forzando la
a
existencia de la transformada de Fourier de δ(t). La transformada de Fourier de δ(t) viene dada
por:
∞

X(ω) =

δ(t)e−jωt dt

−∞
∞

=

δ(t) [cos ωt −...