Electronica

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EXAMEN DE REPOSICION
Instrucciones. Este es un examen de desarrollo por lo que deben aparecer todos los pasos que lo llevan a su
respuesta. Trabaje de manera clara y ordenada.

o
o
a
a
a1. (5 puntos) Determine la ecuaci´n can´nica, y haga la gr´fica, de la par´bola que cumple simult´neamente
las siguientes condiciones:
a.) el v´rtice es (5, −2)
e
47
b.) la directriz es x =
9Soluci´n.
o
Tenemos que h = 5 y k = −2. Como h + p =

47
2
=⇒ p =
Luego la ecuaci´n can´nica de la par´bola es
o
o
a
9
9.

8
(y + 2)2 = − (x − 5)
9
Para la gr´fica, notemos que laintersecci´n con el eje X es (0.5, 0) y las intersecciones con el eje Y son
a
o
≈ (0, 0.10) y ≈ (0, −4.10).

5
-2

−
→
−
→
−
→
F · dr donde F (x, y, z) = (z −y) i + y j + zx k y C es la curvade intersecci´n
o

2. (5 puntos) Calcular
C

del cilindro x2 + (z − 1)2 = 1 y el plano y + z = 2 .

Z
2

Y
X
Soluci´n.
o
Usamos el teorema de Stokes.

2

2
• La manera f´cil estomar la superficie S como el plano y + z = 2. En este caso,
a
RotF = (0, 1 − z, 1). La superficie S es el plano z + y = 2 =⇒ N = (0, 1, 1). Este es el vector que tiene la
direcci´n adecuada respecto ala orientaci´n de la curva.
o
o
La proyecci´n D en XZ es el c´
o
ırculo x2 + (z − 1)2 = 1 que corresponde
a r = 2 sen θ, θ ∈ [ 0, π ]; en polares. Luego,

F · dr =

N
dS
||N ||

rotF ·S

C

=

Z

(0, 1 − z, 1) · (0, 1, 1) dy dx

1

D
π

2 sen θ

=

(2 − r sen θ)r dr dθ
0

X

0
π

=

4 sen2 θ −

0

8
sen4 θ dθ = π
3

Z

• La manera complicadaes tomar la superficie S como el cilindro x2 + (z − 1)2 = 1.
Si proyectamos sobre el plano Y Z, x = ± 1 − (z − 1)2 . Pero teorema de Stokes
requiere que la parametrizaci´n sea biyectiva entre S y suproyecci´n y que S sea
o
o
regular a trozos. Por tanto, debemos considerar solo la mitad del cilindro.
Tomamos C = C1
como sigue,

C2 con Ci una mitad de la curva (ver figura). El c´lculo es...