Electronica

Análisis en el Dominio z de Sistemas LTI
Introducción
Se utiliza la función de transferencia H(z) para obtener la respuesta de un
sistema (con y sin condiciones iniciales) a una entrada.
Se estudia la estabilidad de los sistemas LTI y se describe un test para
determinar la estabilidad en función de los coeficientes del polinomio de H(z).
Se analizan detalladamente los sistemas de segundoorden, que constituyen los
bloques elementales para la implementación de sistemas de orden mayor.
Un sistema LTI se describe por una ecuación de diferencias de coeficientes
constantes por,
N

M

k =1

k =0

y (n ) = −∑ ak y (n − k ) + ∑ bk x(n − k )

y su función de transferencia se obtiene directamente calculando, a ambos
lados, la transformada z.
M

Y (z )
=
X (z )

∑ bk z
k=0
N

1 + ∑ ak z −k
k =1

M

−k

o equivalentemente,

H (z ) =

bk z − k
∑
k =0
N

1 + ∑ ak z −k
k =1

Respuesta de Sistemas con Función de Transferencia Racional
Los sistemas descritos por e.d.c.c. presentan una función de transferencia
racional:

H (z ) =

B(Z )
A(Z )

La mayoría de señales de interés práctico tienen transformadas z racionales:

N (Z )
X (Z )=
Q(Z )

Respuesta del Sistema en Reposo
Si se consideran las condiciones iniciales cero, la transformada z de la señal de
salida tiene la forma:

B( z ) N ( z )
Y (z ) = H (z ) X (z ) =
A( z ) Q( z )

Respuesta del Sistema en Reposo…
Polos Simples (sin cancelación de polos y ceros)
Polos del sistema: p1, p2, ..., pN ;

Polos de la señal de entrada: q1, q2, ..., qL

Por expansiónen fracciones parciales se obtiene,
N
L
Ak
Qk
Y (z ) = ∑
+∑
−1
−1
k =1 1 − pk z
k =1 1 − qk z
La transformada inversa de Y(z) es de la forma,
N

L

y (n ) = ∑ Ak ( pk ) u (n ) + ∑ Qk (qk ) u (n )
k =1

n

n

k =1

la cual puede descomponerse en:
» ynat(n): respuesta natural, función de los polos de H(z).
→La inluencia de X(z) es a través de los coeficientes {Ak}
»yfor(n): respuesta forzada, función de los polos de la señal de entrada X(z).
→La inluencia de H(z) es a través de los coeficientes {Qk}
» Los factores {Ak} y {Qk} son funciones de ambos conjuntos de polos {pk}y {qk}

Respuesta del Sistema en Reposo…
Polos Múltiples (sin cancelación de polos y ceros)
Cuando X(z) o H(z) tienen uno o más polos en común, o cuando X(z) y/o H(z) tienen
polos deorden múltiple, la salida Y(z) tendrá polos de orden múltiples.
En consecuencia, la expansión en fracciones parciales de Y(z) contendrá factores de la
forma,
1
k = 1, 2, ... , m
−1 k
1 − pl z

(

)

donde m es el orden del polo.

La transformada z inversa de estos factores producirá en la salida y(n) del sistema,
términos de la forma,

n k −1 pln

Respuesta del sistemas NO enReposo
Señal de entrada x(n) causal → Los efectos de las señales de entradas anteriores se
reflejan en las condiciones iniciales.
Se busca obtener y(n) para n ≥ 0 ante una entrada x(n) causal y condiciones iniciales
no nulas → transformada z unilateral.
La transformada z unilateral del sistema LTI descrito por ecuaciones de diferencia es
ahora,
N
k
⎡
⎤M
Y + ( z ) = −∑ ak z − k ⎢Y + ( z ) +∑ y (− n ) z n ⎥ + ∑ bk z − k X + ( z )
k =1
n =1
⎣
⎦ k =0

Dado que x(n) es causal, X+(z)=X(z)
M

Y (z ) =
+

∑b
k =0
N

k

z

N

−k

1 + ∑ ak z − k

X (z ) −

∑a

k =1

N (z )
Y (z ) = H (z ) X (z ) + 0
A( z )
+

k =1

k

z

−k

k

∑ y(− n ) z

n

n =1

N

1 + ∑ ak z − k
k =1

N

donde

N 0 (z ) = − ∑ a k z
k =1

−k

k

∑ y(− n )z

n

n =1

la cual puede descomponerse en dos partes,
Yzs(z)=H(z)X(z): respuesta del sistema en estado nulo
Yzi+(z)=N0(z)/A(z): respuesta del sistema con entrada cero y condiciones iniciales no nulas

La respuesta total en el dominio del tiempo, y(n), puede obtenerse como la
suma de las transformadas inversas individuales de YZS(n) y Yzi(n):
y (n) = y zs (n) + y zi (n)

Como...