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COLEGIO SAN FRANCISCO DE SALES - 2011 - Prof. Cecilia Galimberti
MATEMÁTICA 4° AÑO B
GUÍA N° 2 - NÚMEROS COMPLEJOS

Ejercicio 1: Marquen con una cruz todos los conjuntos numéricos a los cuales pertenecen las soluciones de las ecuaciones:

Ecuación
Resolución
N
Z
Q
IR
x – 3 = 1






x + 2 = 1






x . 2 = 1






x² – 2 = 0






x² + 1 = 0








Como sabemos, en R no podemos resolver raíces cuadradas de números negativos, como , ya que no existe ningún número real cuyo cuadrado sea igual a –1.

Para eso definimos el símbolo i para indicar un número tal que: i² = – 1 ó i =

Teniendo en cuentala igualdad a partir de la cual lo definimos, y que este número no es real, podemos usarlo para expresar las soluciones que no son reales de algunas ecuaciones.


Ej: x² + 1 = 0 x² + 2 = 0
x² = – 1 x² = – 2

x = i x= – i x = i x= – i

Ya que: i² + 1 = 0 y (–i)² + 1 = 0 Ya que: (i)² + 2 = 0 y (–i)² + 2 = 0Ejercicio 2: Utilicen el símbolo i para expresar las soluciones de las siguientes ecuaciones:

a) x² + 4 = 0 b) x² + 5 = 0 c) x² – 10 = 2 x²

d) – x² – 9 = 0 e) 9 x² + 16 = 0 f) ( x + 5 )² = 10 x

g) h) ( x – 2 ) ( – x – 2 ) = 20 i) ( x – 8 )² = – 16 x

j) 3 ( 2 – 2 x ) = ( x – 4 ) ( x – 2 ) k) ( 2 x² – 1 )² = ( 1 + 2 x ) ( 1 – 2 x ) – 1




Ejercicio 3: Completen la siguientetabla:

Número Complejo
Z
Parte Real
Re (z)
Parte Imaginaria
Im(z)
¿es complejo, real o imaginario puro?
5 + 3 i




2
8


– 4
2/3


1
–3

2 – i



5 i




0
4


4
0


0
0


CONJUGADO Y OPUESTO DE UN NÚMERO COMPLEJO

A partir de un número complejo z = a + bi, se definen los siguientes:
* El conjugado de z es = a – bi ( la parte real es igual y laparte imaginaria es opuesta)
* El opuesto de z es – z = – a – bi (la partwe real y la parte imaginaria son opuestas)
Ejemplos:
= – 1 – 2 i = – 1 + 2 i –= 1 + 2 i
= 4 i = – 4 i – = – 4 i
= 6 = 6 – = – 6

Ejercicio 4: Completen el siguiente cuadro:

z

– z
⅔ + ¾ i



2 – 6 i



– 7 + i

– 3



– i

2 – ½ i


REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN N° COMPLEJOEjercicio 5: Representar los siguientes números complejos:
= – 1 – i = – 3 + 2 i = 2 – 3i
Ejercicio 6: Dado , graficar . ¿Qué relación existe entre ellos?

MÓDULO Y ARGUMENTO

|Ejercicio 7: Hallar el módulo y el argumento de los siguientes complejos y graficarlos:

a) 5 – 2 i b) –3 + ½ i c) ⅔ + i d) – 1 – i



FORMAS DE REPRESENTAR UN NÚMERO COMPLEJO

* FormaBinómica: z = 2 + 3 i

* Forma Cartesiana: z = ( 2 ; 3 )

* Forma Polar: z = ( |z| , α ) donde |z| es el módulo , α el argumento

|z| = = ; α = arctg(3/2) = 56°18’35’’
z = ( , 56°18’35’’)

* Forma Trigonométrica: z = |z| . (cos α + i sen α ) |z| módulo
α argumento
z = .(cos 56°18’35’’+ i sen 56°18’35’’)

Verificamos : z = 3,605 . ( 0,554 + i 0,832)
z = 1,999…. + 2,999…i ( aprox 2 + 3i)


Ejercicio 8: Expresar los siguientes complejos en forma polar:

a) z = – 3 i b) z = – 2 – 5 i c) z = d) z =

Ejercicio 9: Expresar en forma trigonométrica los n° complejos del ej 8


OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

En lossiguientes ejemplos pueden observar cómo sumamos, restamos, multiplicamos y dividimos números complejos:

Suma: ( 2 + 3 i ) + ( 1 – 5 i ) = ( 2 + 1 ) + ( 3 – 5 ) i = 3 – 2 i

Resta: ( 2 + 3 i ) – ( 1 – 5 i ) = ( 2 – 1 ) + ( 3 –(–5) i) = 1 + 8 i

Multiplicación: ( 2 + 3 i ) . ( 1 – 5 i ) = 2 . 1 + 2 . (–5i) + 3 i.1 + 3i .(–5i) =
= 2 – 10...