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VII.- CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOS FINITOS

VII.1.- CONDUCCIÓN TRANSITORIA BIDIMENSIONAL Y TRIDIMENSIONAL Los problemas de conducción transitoria estudiados se limitan a configuraciones especiales como son la placa, el cilindro y esfera, con diversas situaciones de contorno. Estas formas se han escogido para asegurarnos de que la temperatura del sólido depende sólo de una coordenada espacialy del tiempo. En ciertas aplicaciones el hecho de despreciar el efecto de borde (que es a lo que equivalen las simplificaciones anteriores de conducción unidimensional), puede afectar a los resultados, por lo que en muchos casos prácticos no puede hacerse una simplificación de este tipo y habrá que considerar la conducción transitoria en función de más de una dimensión espacial. Bajo ciertascondiciones, la solución de los problemas de conducción transitoria en dos o tres dimensiones se puede obtener por superposición de las soluciones de problemas unidimensionales; aplicando este método de superposición al problema de conducción transitoria en una barra larga rectangular, cuya sección transversal tiene por dimensiones, A en la dirección de las x, B en la de las y y ser indefinida en ladirección de las z, la conducción tendrá sólo lugar en las direcciones de las x y las y, por lo que se ha reducido el problema a un caso bidimensional y transitorio. Si se calienta la barra de forma que inicialmente la distribución de temperaturas es, T = f(x,y), y en el instante, t = 0, la barra entra en contacto con un fluido convector, o con un foco térmico, a una temperatura, TF = 0, (o acualquier otra, constante), con un coeficiente de convección hC constante en todas las superficies, la ecuación diferencial a resolver es: ∂2T + ∂2T = 1 ∂T α ∂t ∂x2 ∂y2
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con las condiciones de contorno: Para, t = 0; T = f(x,y) hC T dT   en, x = 0, y en, x = A, dx = ± k Para, t > 0 ,  hC T dT  en, y = 0, y en, y = B, = ± k dy  Se toma el signo (+) en x = 0 y en, y = 0, y el signo (-)en, x = A y en, y = B. Si la función de distribución de temperatura inicial, T = f(x,y), es tal que se puede descomponer en forma de producto de otras dos funciones, cada una de las cuales sólo depende de una de las variables espaciales independientes, la condición inicial puede sustituirse por: Para, t = 0 , T = f (x,y) = f1 (x) f2 (y) y si ésto es posible, la solución de la ecuación: ∂2T + ∂2T = 1∂T α ∂t ∂x2 ∂y2 con las condiciones indicadas, se puede expresar como el producto de dos soluciones transitorias unidimensionales. Si representamos la solución que se busca, T(x,y,t), por el producto: T = Tx (x,t) Ty (y,t) siendo Tx(x,t) función de x y del tiempo t, y Ty(y,t) función de y y de t. Al sustituir la ecuación, T = Tx(x,t) T y(y,t), en la ecuación diferencial de partida se obtiene: ∂ 2Ty ∂Ty ∂ 2 Tx ∂T 1 + Tx = (Ty x + Tx ) 2 2 α ∂x ∂y ∂t ∂t ∂ 2 Ty ∂ 2 Tx 1 ∂Tx 1 ∂Ty ) + Tx ( )= 0 α ∂t ∂x 2 α ∂t ∂x 2

Ty

Ty(

y las condiciones de contorno e inicial, se transforman en: Para, t = 0 ; T = Tx T y = f1(x) f2(y)   en, x = 0, y en, x = A, Ty Para, t > 0   en, y = 0, y en, y = B, Tx   hC dTx = ± dx dTy hC = ± dy Tx Ty k Tx Ty k

El examen de las ecuaciones anteriorespone de manifiesto que se satisfacen, si T x(x,t) y Ty(y,t), son las soluciones de los dos problemas unidimensionales siguientes:
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∂ 2 Tx 1 ∂Tx = 2 ∂x α ∂t

;

 Para, t = 0 ; Tx = f1(x)   h C Tx dTx     en, x = 0, dx =  k  Para, t > 0  dTx h C Tx    en, y = A, dx =    k  Para, t = 0 ; Ty = f2(x)   h C Ty dTy   en, y = 0, =    k dy  Para, t > 0  dTy h C Ty   en, y = B, dy =  k  

∂ 2 Ty ∂x 2

=

1 ∂Ty α ∂t

;

Se observa que la solución del problema de conducción transitoria bidimensional se puede obtener como el producto de las soluciones de dos problemas unidimensionales, más sencillos, de las ecuaciones anteriores, siempre que la distribución inicial de la temperatura sea susceptible de expresarse en forma del producto: T =...