electrostatica

Electricidad y Magnetismo

2010/2011

Electrostática
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Definición
Los conductores en electrostática.
Campo de una carga puntual.
Aplicaciones de la Ley de Gauss
Integrales de superposición.
Potencial electrostático
– Definición e Interpretación. Integrales de superposición.
– Ecuaciones de Poisson y Laplace. Condiciones de
Interfase.Condiciones de regularidad.Teorema de unicidad,
teorema del valor medio.

• Campo y potencial eléctrico en puntos alejados: dipolo, momento
dipolar, ...
• Polarización de materiales.
• Método de las imágenes.
• Sistemas de conductores. Condensadores.
EyM 3d-1
• Energía
J.L. Fernández Jambrina y Fuerzas.

Ecuaciones de Poisson y Laplace
• Se puede ligar el potencial con las densidades de carga, así para
mediosisótropos:
r
∇⋅D = ρ 
r
r 
r
D = εE  ⇒ ∇ ⋅ (εE ) = ∇ ⋅ (− ε∇Φ ) = ρ ⇒ ∇ε ⋅ ∇Φ + ε∆Φ = − ρ
r
E = −∇Φ 


• La ecuación para medios homogéneos, lineales e isótropos recibe el
nombre de Ecuación de Poisson:
∆Φ = −

ρ
ε

• En el caso de regiones sin carga, la ecuación de Poisson se reduce a
la Ecuación de Laplace:
∆Φ = 0

• Todas estas ecuaciones son de segundo orden.
J.L.Fernández Jambrina

Potencial Escalar, Ecuaciones de Poisson y de Laplace. Condiciones de
frontera. Unicidad.

EyM 3d-2

Página 1

Electricidad y Magnetismo

2010/2011

Soluciones generales con dependencia de una
única coordenada
• En muchas situaciones se puede suponer en primera aproximación
que el potencial sólo depende de una coordenada:
– Es interesante conocer las solucionescorrespondientes.
Cartesianas:

r
r
∂Φ ∂Φ
∂ 2Φ
ˆ
=
= 0 ⇒ ∆Φ =
= 0 ⇒ Φ(r ) = Ax + B E = − Ax
2
∂y ∂z
∂x
Cilíndricas:
r
1 ∂  ∂Φ 
r
A
∂Φ ∂Φ
ˆ
ρ
=
= 0 ⇒ ∆Φ =
 ∂ρ  = 0 ⇒ Φ(r ) = A ln ρ + B E = − ρ ρ ;ρ ≠ 0

∂ϕ ∂z
ρ ∂ρ 

r
r
∂Φ ∂Φ
A
1 ∂ 2Φ
ˆ
=
= 0 ⇒ ∆Φ = 2
=0
⇒ Φ (r ) = A ϕ + B
E = − ϕ ;ρ ≠ 0
∂ρ ∂z
ρ
ρ ∂ϕ 2
2
r
r
∂Φ ∂Φ
∂ Φ
r
=
= 0 ⇒ ∆Φ =
=0
⇒ Φ(r ) =Az + B
E = − Az
2
∂ρ ∂ϕ
∂z

J.L. Fernández Jambrina

EyM 3d-3

Soluciones generales con dependencia de una
única coordenada
(2)
• Esféricas
 r A
Φ(r ) = r + B

⇒ 
r≠0
r
E = A r
ˆ


r2
 r
 θ
Φ(r ) = A ln tg 2  + B
∂ 
∂Φ 
1



= 0 ⇒ ∆Φ = 2
rsenθ ≠ 0
 senθ
=0 ⇒ 
ˆ
r − Aθ
r senθ ∂θ 
∂θ 

 E = rsenθ
 r
Φ(r ) = Aϕ + B
2
1 ∂Φ
rsenθ ≠ 0
= 0 ⇒ ∆Φ = 2
=0
⇒ r
ˆ
Aϕ
r senθ ∂ϕ2
 E = − rsenθ


∂Φ ∂Φ
1 ∂  2 ∂Φ 
=
= 0 ⇒ ∆Φ = 2
r
=0
∂θ ∂ϕ
r ∂r  ∂r 

∂Φ ∂Φ
=
∂r ∂ϕ
∂Φ ∂Φ
=
∂r
∂θ

J.L. Fernández Jambrina

Potencial Escalar, Ecuaciones de Poisson y de Laplace. Condiciones de
frontera. Unicidad.

EyM 3d-4

Página 2

Electricidad y Magnetismo

2010/2011

Condiciones de interfase delPotencial
• La ecuación de Poisson, por ser una
ecuación diferencial, sólo se puede
aplicar en puntos ordinarios del espacio:
– no se puede aplicar en las interfases
entre medios.

ε2 ,σ2
r r
E 2 , D2 , Φ 2

$
n

ε1 , σ1
r r
E1 , D1 , Φ1

Medio 2

• Es necesario obtener las condiciones
de interfase:

Medio 1
r
– A partir de la condición para la componente normal de D :
r
r∂Φ 2 
 ∂Φ 1
ˆ
− ε2
n ⋅ D2 − D1 = ρ s ⇒ (ε 2 E 2 n − ε 1 E1n ) S = ρ s ⇒  ε 1
 = ρs
S
∂n  S
 ∂n
r
– A partir de la condición para las componentes tangenciales de E :
r
r
r
r
 ∂ Φ 2 ∂Φ 1 
ˆ
n × E 2 − E1 = E 2 t − E1t =  −
+
 = 0 ⇒ (− Φ 2 + Φ 1 ) S = cte
S
S
∂t  S
 ∂t

(

)

(

) (

)

– No obstante, esta última condición puede mejorarsesubstancialmente:...
EyM 3d-5

J.L. Fernández Jambrina

Condiciones de interfase del Potencial
• Utilizando la idea de una zona de
transición continua entre medios cuyo
espesor ∆n se hace tender a cero,
– Se escogen sendos puntos A y C, uno
en cada medio y en el límite de la zona
de transición, de forma que se cumpla:
∆n → 0 ⇒ A → B ; C → B
– En estas condiciones:

(2)

ε2 ,σ2
Medio 2
r r...