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CAMPO ELECTROSTÁTICO EN MEDIOS DIELÉCTRICOS La polarización eléctrica P . Campo externo de un medio dieléctrico. El Campo Eléctrico dentro de un dieléctrico. Ley de Gauss en un dieléctrico. El desplazamiento eléctrico. • Susceptibilidad eléctrica y constante dieléctrica. • Condiciones en la frontera sobre los vectores de campo.
 

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Estudiaremos en este tema el comportamiento de losmateriales aislantes frente a un campo eléctrico externo. • En un material dieléctrico las cargas no pueden moverse libremente, se encuentran fuertemente ligadas al núcleo atómico. • El campo externo produce ligeros desplazamientos de las cargas positivas y negativas en direcciones opuestas. Este desplazamiento es, en general, pequeño comparado con las distancias interatómicas. • Un dieléctrico enel que se ha producido este desplazamiento de las cargas se dice que está polarizado, y que sus moléculas tienen un momento dipolar inducido. • Estos dipolos crean su propio campo eléctrico, que se suma al campo externo. El campo de los dipolos y el campo externo pueden tener magnitudes comparables.

La Polarización Eléctrica P En un dieléctrico polarizado cada molécula se comporta como undipolo eléctrico de momento p . Podemos definir el vector polarización eléctrica como el momento dipolar por unidad de volumen: Si p es el momento dipolar medio por molécula en un volumen pequeño, y N es el número de moléculas por unidad de volumen, entonces:
¡ ¡ ¡ ¡

P = Np P es una magnitud vectorial con dependencia espacial. En cada elemento de volumen tiene la dirección del desplazamiento de lacarga positiva con respecto a la negativa.
¡

¡

Campo externo en un medio dieléctrico

La figura muestra un bloque de material con un momento dipolar por unidad de volumen P que es función de la posición del dieléctrico. Calculamos el potencial eléctrico V que los dipolos producen en un punto exterior Q. El potencial dV debido al dipolo Pdτ' situado en ( x ', y ', z ') en el punto Q es:¢ ¢ £ £ ¢ ¢

u  1 ∇  = − r  r r2 Integrando en todo el dieléctrico:
¢ ¢ £ ¢ ¢

¢

¢

V=

1 4 πε 0

∫

  1  P ⋅ ∇'   dτ'  τ'   r − r'

¢

¢

dV =

 1  1 P ⋅ u( r − r ') 1  dτ' = P ⋅ ∇'    dτ '  4 πε 0 r − r ' 2 4 πε 0  r − r' 
¢ ¢ ¢ ¢

• La integral sólo se puede realizar analíticamente para geometrías sencillas del dieléctrico. • Además, Pdebe ser una función sencilla de la posición
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La integral se puede poner de otra forma empleando la siguiente identidad vectorial: ∇' f A = f ∇'⋅ A + A ⋅ ∇' f f =
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

1 r − r'
¤ ¤ ¤

A= P Entonces:
¤

Utilizando el Tma. de la divergencia para el primer término: V= 1 4 πε 0

Donde S’ es la superficie cerrada que limita el volumen del dieléctrico. Este potencial que hemoscalculado se debe a los dipolos en el dieléctrico. Para obtener el potencial total habrá que

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¤

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∫

∫

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¤

P ⋅ dS ' 1 '− S ' r − r ' 4 πε 0
¤

∇'⋅ P dτ ' τ' r − r '

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¤

¤

¤

V=

1 4 πε 0

∫

∫

¤

¤

 P  1  ∇'⋅  dτ'− τ'  r − r' 4 πε 0
¤

∇'⋅ P dτ ' τ' r − r '

sumarle el debido a las cargas que originan el campo externo.Densidades de carga ligada ρb y σb : Si comparamos el potencial creado por distribuciones de carga: V= 1 4 πε 0

∫

σdS 1 + S r 4 πε 0

∫

ρdτ τ r

con el potencial creado por los dipolos eléctricos del material dieléctrico: V= 1 4 πε 0

Vemos que este potencial es exactamente el que crearían las distribuciones de carga superficial y volúmica de densidades: σb = P ⋅ n ρb = −∇ ⋅ P Enconsecuencia: V= 1 4 πε 0
¥ ¥ ¥ ¥

∫

σbdS 1 + S r 4 πε 0

∫

ρbdτ τ r

¥

¥

¥

¥

∫

∫

¥

¥

P ⋅ dS ' 1 '− S ' r − r ' 4 πε 0
¥

∇'⋅ P dτ ' τ' r − r '

El dieléctrico se puede sustituir por las distribuciones de carga ligada (o de polarización) σb y ρb . Densidad σb :

• Por la acción del campo externo se produce una separación media de las cargas igual a d. •...