Elemento finito

Problema 1

Se considera la viga empotrada en un extremo y sometida a axil p(x) representada en la figura. Empleando una discretización de dos elementos lineales y una discretización de un elemento cuadrático y suponiendo que la carga es constante p(x) = p0 y variable p(x) =p0 x.L

Se pide:
1. Plantear el problema teórico.
2. Discretizar y hallar las funciones de forma.
3. Obtener la matriz de rigidez.
4. Obtener el el vector de fuerzas externas.
5. Obtener el desplazamiento en el centro y extremo de la viga, comparando los resultados obtenidos para L = 10m, E = 0.1MP a, A =0.01m2, p0 = 0.1N/m.

Solución
Planteamiento teórico del Problema
Para obtener el problema a resolver basta con aplicar las ecuaciones de equilibrio en una rebanada de la viga:

N + dN + p(x)dx − N = 0

dN
dx + p(x) = 0

Sabemos

Sustituyendo en la expresión anterior:

En consecuencia, la formulación fuerte del problema se puede escribir:
Hallar u(x) ; x ∈ [0, L] tal que
Laformulación débil del problema consiste en aplicar un desplazamiento virtual v definido en [0, L] con las mismas condiciones de contorno e integrar en el dominio:

Integrando por partes el primer miembro

Para las condiciones de contorno del problemam el producto se anula.
Se deduce:

La formulación débil del problema, equivalente el Principio de los Trabajos Virtuales es:

Esteplanteamiento es análogo a resolver el sistema de ecuaciones: donde:
siendo K la la matriz de rigidez, u el vector de desplazamientos de los nodos y f elvector de fuerzas externas,
Para el caso general, el problema discreto consiste en

Dos elementos lineales
La discretización empleada mediante dos elementos lineales se recoge en la figura 1. Al definirse 3 nodos, existen 3 grados de libertad, deéstos los nodos 2 y 3 están definidos en desplazamientos, el único grado de libertad en fuerzas se define para el nodo 1.

Figure 1: Discretización de la estructura: (a) Nodos globales, (b) Nodos locales
Las funciones de forma lineales se caracterizan porque toman el valor unidad en el nodo y cero en el resto de nodos. Para un elemento lineal, definido en coordenadas locales, se tiene:
Las derivadasen coordenadas locales de las funciones de forma son:

El jacobiano de la transformación entre coordenadas locales y globales para cada uno de los elementos es:
Las derivadas de las funciones de forma en coordenadas globales:

Un elemento cuadrático
Al tratarse de un elemento de tres nodos, las funciones de forma serán de tipo cuadrático. H1(x) se tomará de forma que toma el valor 1 en elpunto 1 y se anula en el resto; H2(x) es la función que toma el valor unidad en el nodo 2 y H3(x) la que tiene valor unidad en el nodo 3.


Las derivadas de las funciones de forma respecto a las coordenadas locales son:

El jacobiano de latransformación entre coordenadas locales y globales para el elementos considerado es:

Las derivadas de las funciones de forma respecto a las coordenadas globales se obtendrán al realizar el producto entre las derivadas en coordenadas



Dos elementos lineales

Para el cálculo de la matrizde rigidez hay que obtener, en primer lugar, las matrices de rigidez elementales teniendo en cuenta que los miembros de la matriz se obtienen a partir de la integral
Al ser los intervalos de igual longitud, con igual rigidez y área, las matrices de rigidez elementales son iguales para ambos elementos.


Una vez calculadas las matrices de rigidez elementales, se...