Elementos de análisis numérico

Elementos de Análisis Numérico. Capitulo 1: Preliminares.

Contenido

Contenido del curso Bibliografía del curso. Errores en el cálculo Numérico. Fuentes de error en modelos computacionales Números de Punto flotante y errores de redondeo Perdida de cifras significativos Cálculos estables e inestables. Condicionamiento.

Contenido del curso

Capitulo 1. Errores en el Cálculo Númerico.Capitulo 2. Solución de Ecuaciones no lineales. Capitulo 3. Resolución de sistemas de Ecuaciones lineales. Capitulo 4. Aproximación de funciones. Capitulo 5. Diferenciación e integración numérica. Capitulo 6. Solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias. Capitulo 7. Solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales.

Bibliografía del curso.
L UIS VÁSQUEZ , S ALVADOR J IMÉNEZ , CARLOS AGUIRRE AND P EDRO PASCUAL Métodos Numéricos para la Física e Ingeniería. DAVID R. K INCAID AND E. WARD C HENEY Numerical Analysis: Mathematics of Scientific Computing. A LFIO Q UARTERONI , R ICCARDO S ACCO AND FAUSTO S ALERI, Numerical mathematics, Springer. A LFIO Q UARTERONI AND FAUSTO S ALERI, scientific computing with matlab and octave, Springer. I VAN A SMAR, Métodos numéricos,http://www.unalmed.edu.co/ ifasmar/libro.html C ARLOS E. M EJIA, Invitación al análisis numérico, Universidad Nacional de Colombia, sede Medeliín

Fuentes de error en modelos computacionales

Fuentes de error en modelos computacionales

En general, se tienen las siguientes fuentes de error: Errores dados por el modelo, que pueden ser controlados por la escogencia apropiada del modelo matemático.Errores en los datos, que pueden ser disminuidos al aumentar la exactitud del proceso de medición de los mismos. Error propio del método numérico, que se obtiene por haber reemplazado el modelo físico por un modelo aproximado, que envuelve operaciones con un número finito de pasos. Errores de redondeo, los que en algunos casos son posibles de controlar realizando una buena programación.

Unejemplo ilustrativo: El pendulo simple Consideremos la dinámica del péndulo que se muestra en la siguiente figura:

Para pequeñas oscilaciones: sin θ ≈ θ =⇒ d2 θ = −g/L sin θ dt2

La solución de esta ecuación es: θ(t) = A cos(ωt + ϕ); ω = g/L, A y ϕ dependen de θ(0), θ (0). El sistema efectua oscilaciones de periodo T = 2π/ω = 2π L/g.

Ecuación diferencial: ML d2 θ = −M g sin θ dt2

Números dePunto flotante y errores de redondeo
Redondeo en base decimal. Sea x ∈ R tal que en base decimal se tiene x = a0 a1 a2 . . . aM −1 .d1 d2 d3 . . . , donde a = a0 a1 a2 . . . aM −1 es la parte entera de x y d = d1 d2 d3 . . . es la parte decimal de x. Se define el redondeo de x a n cifras decimales como rd(x) = a.d1 d2 . . . dn a.d1 d2 . . . dn + 10−n si 0 < dn+1 < 5, , si 5 ≤ dn+1 ≤ 9,

mientrasque el truncamiento de x a n cifras decimales es tr(x) = a.d1 d2 . . . dn . Claramente se tiene que los errores de estas aproximaciones satisfacen: |x − tr(x)| ≤ 10−n , |x − rd(x)| ≤ 1 × 10−n . 2

Números de Punto flotante y errores de redondeo
Observación. El redondeo puede hacerse para números expresados en cualquier sistema de base entera β > 1. Al realizar cálculos la mayoría de loscomputadores usan el sistema binario para representar los números: (1001,11101)2 =1 × 23 + 0 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 + 1 × 2−1 + 1 × 2−2 + 1 × 2−3 + 0 × 2−4 + 1 × 2−5 . Además, almacenan los números en notación científica normalizada: Todo x = 0 puede escribirse de la forma x = ±q × 2m , 1 ≤ q < 1, m ∈ Z. 2

q es llamada mantisa y m es llamado exponente. Debido a que los computadores tienen memoria finita,necesitan realizar algún proceso de redondeo o truncamiento para almacenar ciertos números. Esto depende de la longitud de palabra del computador.

Números de Punto flotante y errores de redondeo Para unificar las posibles representaciones finitas de los números el IEEE (Institute of Electrical and Electronic Engineers) ha creado la norma IEEE Standard 754 para la aritmética de punto flotante en...