Elementos de conjuntos

Universidad Diego Portales
Facultad de Economía y Empresa
ESCUELA: ING. MKTN – FZAS – ADM. EMPRESAS.

1° Semestre 2007
Asignatura: Álgebra I
Material Docente del alumno

Material Docente Nº 1 - ELEMENTOS DE CONJUNTOS
1.0.

GENERALIDADES SOBRE CONJUNTOS.
Los conceptos de "conjunto", "elemento" y "pertenencia" son primitivos, es decir, no se definen. Intuitivamente,
un conjunto es unacolección bien delimitada de objetos concretos o abstractos llamados elementos o
miembros del conjunto.
Consideremos, por ejemplo las siguientes colecciones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

Las letras a, e , i , o , u.
Los números naturales pares: 2, 4, 6, 8, 10, ...
Los siete pecados capitales.
Los equipos profesionales de Fútbol.
Los Indicadores Económicos.
Los números naturales divisoresde 36.
Las personas jóvenes que viven en Chile.

Sólo los seis primeros de estos ejemplos constituyen conjuntos. La colección 7 no tiene bien delimitados sus
elementos, pues no hay consenso acerca del significado de la palabra "joven".
Cada uno de los elementos del conjunto 4 puede considerarse como un conjunto y por esta razón puede
decirse que este conjunto es una clase o familia deconjuntos. No obstante, la colección de todos los
conjuntos no es un conjunto. Los conjuntos se denotan generalmente mediante letras mayúsculas y sus
elementos se escriben entre paréntesis de llave.
Por ejemplo:
Nota 1:

A = { 1, 2 , 4 } .

El conjunto cuyo único elemento es

x

se llama singleton

x . Obsérvese que { x } ≠ x .

Se necesita un criterio que permita decidir si un elementox está en el conjunto A . En el conjunto A del
ejemplo anterior el entero 2 pertenece a A , escribimos esto así 2 ∈ A , que es la relación de pertenencia
entre elemento y conjunto. Análogamente 1∈ A y 4 ∈ A , por abuso de lenguaje se escribe 1, 2 , 4 ∈ A . Por
otra parte, 5 no pertenece a A . Escribimos esto así 5 ∉ A . Es usual decir, por ejemplo, que " x es un
elemento de A " o " x está en A" en vez de " x pertenece a A ". Lo cual se simboliza por x ∈ A .
Nota 2:

El "conjunto":

{ } no tiene elementos. Se denomina conjunto vacío y se denota por la letra griega φ .

Definiremos dos relaciones entre conjuntos: inclusión e igualdad y posteriormente las operaciones entre
conjuntos, y con ayuda de los diagramas de Venn para representar conjuntos, daremos interpretacionesintuitivas de estas definiciones que faciliten la comprensión del trabajo formal que se desarrolla a continuación.
Definición. 1.1.

Se dice que un conjunto A es subconjunto, o es una parte de un conjunto B , o que A está incluido en B ,
lo que se anota por A ⊆ B o bien B ⊇ A , si y solo si cada elemento que pertenece a A , pertenece a B .
Si A no es subconjunto de B se escribe A ⊄ B .

Nota 3Se dice que A es subconjunto propio de B si y sólo si A es subconjunto de B y B no es subconjunto de
A , lo que se denota por A ⊂ B .

Nota 4

Estableceremos que el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto, es decir

Ejemplo 1.1.

Dados A = { 1 , 2 } , B = { 1 , 2 , 3 } , entonces A es subconjunto de B , A es subconjunto de A , B es
subconjunto de B , B no es subconjunto de A, A es una parte propia de B.

φ ⊆ A.

Universidad Diego Portales

Definición. 1.2.

Ejemplo 1.2.

Se dice que los conjuntos A , B son iguales, y se denota por A = B , si y sólo, si cada elemento que
pertenece a A pertenece a B , y recíprocamente. Dicho de otro modo: A y B son iguales si A es
subconjunto de B y B es subconjunto de A . Si: A y B no son iguales se escribe A ≠ B .
1.2.
3.

Def. 1.3.

Facultad de Economía y Empresa

{ 3 , 2, 5 } = { 3 , 2 , 5 }
{ 1, 2 } = {1, 2 ,1, 2 ,1 }
{0 } ≠ φ

La familia de todas las partes de un conjunto

A

se llama conjunto potencia de

A

y se denota por P( A ) ,

es decir, es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjunto del conjunto
P( A ) = { X : X ⊆ A } .

A . En símbolos será

Sí A = { 1, 2 } ,...