elementos de contorno

Cap´
ıtulo 3
M´todos Num´ricos
e
e
3.1

Introducci´n
o

En el cap´
ıtulo anterior se mostr´ que una antena de microtira con sustrato
o
delgado puede ser estudiada por medio del modelo de cavidad resonante. Este
modelo resume todo el problema en una ecuaci´n diferencial de segundo orden.
o
Cuando la forma de la antena es simple, es posible hallar una soluci´n anal´
o
ıtica
de laecuaci´n en t´rminos de los autovalores y autofunciones del problema.
o
e
De lo contrario, es necesario utilizar m´todos num´ricos.
e
e
En este cap´
ıtulo se aplican los m´todos FEM, BEM y DRM para resolver
e
num´ricamente la ecuaci´n antes mencionada. Se muestra como a partir de
e
o
estos m´todos se obtiene un sistema lineal de ecuaciones que contiene la solue
ci´n aproximada delproblema. Luego, para estudiar el comportamiento de los
o
m´todos, se simulan las antena descriptas en el cap´
e
ıtulo anterior.

3.2

Ecuaci´n Diferencial
o

A partir del modelo de cavidad resonante se establece que el campo el´ctrico
e
bajo el parche conductor de una antena de microtira satisface la ecuaci´n de
o

24

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´
CAP´
ITULO 3. METODOS NUMERICOS

25

y
Γ
Ω

xFigura 3.1: Geometr´ del problema.
ıa
Helmholtz no homog´nea:
e
(∇2 + k 2 )u − b = 0 en Ω
∂u
= 0 en Γ
∂n

(3.1)

√
e
siendo k = ω µ, u = Ez la componente en z del campo el´ctrico y b = jωµJz .
Ω es el dominio donde se cumple la ecuaci´n diferencial y Γ el contorno de
o
dicho dominio (ver Figura 3.1). Para una antena de microtira alimentada
con un cable coaxil, la densidad decorriente impresa por la fuente puede ser
modelizada por:
(3.2)
Jz (r) = Iδ(r − r0 )
o
o
donde r0 es el vector que indica la posici´n del punto de alimentaci´n.
La ecuaci´n (3.1) muestra la forma fuerte de la ecuaci´n diferencial, pues
o
o
la incognita aparece dentro de un operador diferencial de segundo orden. Para
hallar la soluci´n num´rica es conveniente convertirla en la forma d´bil,en la
o
e
e
cual la ecuaci´n diferencial se lleva a una ecuaci´n integral y se reduce el orden
o
o
de la derivada de la inc´gnita.
o

3.3

M´todo de los Elementos Finitos
e

La esencia del m´todo de los elementos finitos consiste en subdividir el dominio
e
Ω del problema en elementos. Dentro de cada elemento, la soluci´n es aproxio
mada por funciones de forma conocida. De estaforma, se genera un sistema

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´
CAP´
ITULO 3. METODOS NUMERICOS

26

lineal de ecuaciones, de donde se puede obtener la soluci´n aproximada del
o
problema.

3.3.1

Formulaci´n
o

La ecuaci´n (3.1) debe ser escrita en una forma m´s adecuada para ser tratada
o
a
num´ricamente; ´sta es su forma d´bil. Para hallarla, se aplica el m´todo de
e
e
e
e
los residuos ponderados, esdecir, (3.1) se multiplica por una funci´n de peso
o
v y se integra sobre el dominio Ω:
Ω

∇2 u + k 2 u − b v dΩ = 0

(3.3)

A partir de la identidad ∇ · (aB) = ∇a · B + a∇ · B se tiene que:
v∇2 u = v∇ · (∇u) = ∇ · (v∇u) − ∇v · ∇u
Entonces:
Ω

∇ · (v∇u) − ∇v · ∇u + k 2 uv − bv dΩ = 0

(3.4)
(3.5)

Utilizando el Teorema de Gauss:
Γ

v∇u · n dΓ +

Ω

−∇v · ∇u + k 2 uv − bv dΩ= 0

(3.6)

donde n es el versor normal a la curva Γ. Pero ∇u · n = ∂u/∂n = 0, por la
condici´n de frontera definida en (3.1). Por lo tanto la formulaci´n d´bil del
o
o e
problema es:
−∇v · ∇u + k 2 uv − bv dΩ = 0
(3.7)
Ω

3.3.2

Discretizaci´n
o

Para hallar una soluci´n aproximada por el m´todo de elementos finitos, el doo
e
minio del problema debe ser subdividido en elementos(por ejemplo tri´ngulos,
a
ver Figura 3.2.a). En cada uno de ellos, la soluci´n se aproxima por una funo
ci´n de forma conocida, y luego se ajusta para que sea continua en la frontera
o
entre elementos.
Dentro de cada elemento, se asume que la soluci´n se puede aproximar
o
adecuadamente por una funci´n lineal como:
o
u(x, y) = a + bx + cy

(3.8)

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CAP´
ITULO 3. METODOS...