Elementos De Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

ELEMENTOS DE ECUACIONES
DIFERENCIALES ORDINARIAS
V´ıctor Manuel S´anchez de los Reyes

Departamento de An´alisis Matem´atico
Universidad Complutense de Madrid

´Indice

1. Introducci´
on

7

1.1. Conceptos b´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2. Algunos modelos matem´aticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1. Desintegraci´onradiactiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.2. Movimiento pendular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3. La catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4. Cuerpos en ca´ıda libre con resistencia del aire . . . . . . . . . . . . 11
1.2.5. La curva braquist´ocrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.6.Oscilaciones en resortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.7. Din´amica de poblaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. Ecuaciones diferenciales de primer orden

15

2.1. Ecuaciones de variables separadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Ecuaciones homog´eneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.Ecuaciones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4. Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5. Algunas ecuaciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5.1. La ecuaci´on de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5.2. La ecuaci´on de Ricatti . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 22
2.5.3. Ecuaciones de grado n respecto a y . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3

2.5.4. Ecuaciones de la forma f (y, y ) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.5. Ecuaciones de la forma f (x, y ) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5.6. La ecuaci´on de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5.7. La ecuaci´on de Clairaut . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3. Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior

25

3.1. Estructura del conjunto de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.1. La ecuaci´on homog´enea

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.2. La ecuaci´on no homog´enea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2. Ecuaciones con coeficientes constantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.1. La ecuaci´on homog´enea

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.2. La ecuaci´on no homog´enea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

33

4.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2. Estructura delconjunto de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.1. El sistema homog´eneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.2. El sistema no homog´eneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3. Sistemas con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3.1. El sistema homog´eneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3.2. El sistema no homog´eneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5. Transformada de Laplace y m´
etodo de series de potencias

43

5.1. Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1.1. Definici´on y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1.2. La funci´on de Heaviside y la delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . .44
5.1.3. Traslaci´on y periodicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1.4. Transformadas de derivadas e integrales . . . . . . . . . . . . . . . 46
4

5.1.5. La convoluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.1.6. La transformada inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.1.7. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....