Elementos De Geom

Elementos de
Geometría vectorial
Prof. Isabel Arratia Z.

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Elementos de Geometría vectorial - Prof. Isabel Arratia Z.

1

3
El espacio 
Sistema de coordenadas rectangulares tridimensionales
Las coordenadas rectangulares en el
plano se generalizan de manera
natural
a
las
coordenadas
rectangulares en el espacio.
La posición de unpunto en
el espacio queda descrita por
su localización con respecto
a tres ejes coordenados
perpendiculares entre sí y
que pasan por el origen 0.

P(x, y, z)

0

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Cada par de ejes determina un plano coordenado.
muestra el plano XZ

La figura__________________________________________________________________
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3

3
Vectores en el espacio 

Si utilizamos los vectores unitarios i, j, k, el vector v =(a, b, c) se
denotará también v = a i + b j + c k.

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Suma en  3
Ponderación en 3
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El producto escalar o producto punto en 3
3
Si v = (v1, v2, v3) y u = (u1, u2, u3) son vectores de  , el
producto escalar o producto punto de v y u es:

v  u  v1u1  v 2 u 2  v 3 u 3
El producto escalar o producto punto nos permite calcular:
(1) Longitud o normade los vectores

|| v || 

vv 

v12  v 22  v32

(2) Distancia entre vectores
d(v, u) = || v – u ||
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  cos

(3) Ángulo entre vectores:
o equivalente,

cos  

vu
|| v || || u ||



vu 


 || v || || u || 

1 

v  u  || v || || u || cos__________________________________________________________________
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(4) Proyecciones

u

La proyección escalar de u en v.

comp v u 

vu
 || u || cos 
|| v ||

v


comp v ( u )

El vector proyección de u en v.

pr v ( u ) 

vu
|| v ||

2

u

v

v

prv ( u )
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Ejercicio: Considere los vectores v = (1, -2, 2) y u = (4, 1, -3).
a) Muestre un vector unitario en la dirección opuesta a v.
b) Calcule el ángulo entre v y u.
¿Cuál es la ecuación de la esfera E con centro en el
punto C(a, b, c) y de radio r?

E  { P( x , y , z ) / d(P, C)  r }
 { (x, y, z) /

( x  a )2  ( y  b )2  ( z  c )2  r }

Podemosconcluir que la ecuación de la esfera es
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2

Ejercicio: Determine la ecuación de la esfera que tiene como
diámetro el segmento de recta que une A(-1, 2, 3) con B(5, -2, 7).
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Las gráficas de las superficies z = 4y2 y z = x2 + y2 - 3
quese muestran a continuación se realizaron con Maple.
plot3d(4y^2, x=-4. .4, y=-4. .4, axes=normal, labels=[y,x,z]);
plot3d(x^2+y^2-3, x=-4. .4, y=-4. .4, axes=normal, labels=[y,x,z]);

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El producto vectorial o producto cruz en 3
Si u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3)son vectores de
producto vectorial o producto cruz de u y v es:

i
u  v  u1
v1

j
u2
v2

3, el

k
u3
v3

 ( u 2 v3  u3v2 )i  ( u1v3  u3v1 ) j  ( u1v2  u 2 v1 )k
El producto vectorial tiene las siguientes propiedades algebraicas:
1) v x v = 0
2) v x 0 = 0 = 0 x v
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