Elementos de Geometria Analitica

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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

Introducción:
La Geometría Analítica es el estudio de figuras o cuerpos geométricos mediante técnicas
básicas de análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Los
dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica son:
1. Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener la ecuación
2. Dada la ecuación enun sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico
de los puntos que cumplen la ecuación.
La Geometría Analítica permite representar figuras geométricas mediante modelos matemáticos del tipo f (x, y) = 0 ó f (x, y, z) = 0 dependiendo si se está trabajando en el plano (R2 ) o
en el espacio (R3 ). Su estudio será la base para desarrollar el cálculo diferencial e integral, elanálisis algebraico, el análisis vectorial entre otros, fundamentales para la ingeniería.
Este semestre estudiaremos sólo el sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas. En el
segundo curso de Cálculo se verá otro sistema de coordenadas llamado Sistema de Coordenadas
Polares.

3.1

Sistema de Coordenadas Rectangulares

Un sistema de coordenadas rectangulares es un sistema de referenciaque consta de dos
rectas perpendiculares (si estamos trabajando en el plano) o tres rectas perpendiculares entre
sí (si se trabaja en el espacio) que se cortan en un solo punto llamado origen de coordenadas.
En este curso trabajaremos sólo en el plano.
Llamaremos a la recta horizontal el eje X, o eje de las abscisas y a la recta vertical el eje Y ,
o eje de las ordenadas; luego las coordenadascartesianas o rectangulares x e y se denominan
respectivamente abscisa y ordenada.
Un punto del plano queda determinado por un par ordenado de números reales (x, y) y
recíprocamente a todo par ordenado de números reales le corresponde un único punto en el
plano. Esto significa que el sistema cartesiano establece una correspondencia biunívoca entre
un concepto geométrico (punto en el plano) conun concepto algebraico (par ordenado). Esta
correspondencia constituye el fundamento de la Geometría Analítica.
Luego, el plano cartesiano lo podemos definir como:
R2 = {(x, y)

x, y ∈ R}

Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro cuadrantes, como indica la figura 3.1, de
modo que:
a) Todo punto que pertenece al eje X, tiene coordenadas (x, 0)
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b) Todo punto que pertenece aleje Y , tiene coordenadas (0, y)
c) El origen de coordenadas es el (0, 0)
d) Todo punto P de coordenadas (x, y) se encuentra a x unidades del eje Y y a y unidades
del eje X.

Figura 3.1 Ejes coordenados y cuadrantes
Ejemplo 3.1 Determinar en un sistema de coordenadas rectangulares los puntos A(−2, −3),
B(4, −2), C(3, 3), D(2, −5)

Figura 3.2 Puntos A, B, C y D

3.2

Distancia entre dospuntos.

Uno de los conceptos fundamentales de la Geometría Analítica es la distancia entre dos puntos
del plano. Distinguiremos dos casos:
a) Si los dos puntos están en uno de los ejes cartesianos, la distancia entre ellos será el valor
absoluto de la diferencia entre ellos, es decir si P (x1 , 0) y Q (x2 , 0) entonces la distancia
entre ellos designada por P Q es |x2 − x1 |; análogamentesi R (0, y1 ) y S (0, y2 ) , la distancia
RS = |y2 − y1 |
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b) Si al menos uno de los puntos no está en uno de los ejes, la distancia entre ellos se calculará
de la siguiente manera, usando la fórmula de distancia entre dos puntos.
Proposición 3.1 Sean P (x1 , y1 ) y Q (x2 , y2 ) dos puntos cualesquiera del plano, entonces la
distancia
P Q = d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
Esto se deducedel teorema de Pitágoras al triángulo P RQ:

Figura 3.3 Triángulo rectángulo P QR
2

y la raíz positiva es

2

2

P Q = P R + RQ = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2

PQ =

Ejemplo 3.2 Hallar la distancia entre los puntos P (−2, 4) y Q (3, 2)
Solución:
Aplicando la fórmula se tiene: P Q =

(3 + 2)2 + (2 − 4)2 =

√
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Ejemplo 3.3 Demuestre que el...