Elementos de mecanica del medio continuo

Apuntes de elementos de mecánica del medio continuo
Marco Antonio Reyes Huesca
Departamento de Termo‡ uidos, División de Ingeniería Mecánica e Industrial, Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México Sem 2009-II Actualización: 16 de febrero de 2008

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Índice general
1. Introducción y fundamentos generales 1.1. Concepto de medio continuo . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1.1.1. Medio continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Número de Knudsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Conceptos básicos de análisis vectorial y tensorial 2.1. Notación indicial, convención de la suma y matrices . . . . . . . 2.1.1. Espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Espacio Euclideano. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 2.2. Coordenadas curvilíneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Ejemplos de sistemas de coordenadas curvilíneos . . . . . 2.2.2. Vectores base de un sistema de coordenadas curvilíneo en E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Métrica fundamental de un espacio euclideano . . . . . . 2.3. El concepto de tensor . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 2.3.1. Tensores de segundo orden absolutos . . . . . . . . . . . . 2.4. Cálculo tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Derivadas parciales de los vectores base: Los símbolos de Christo¤el . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Derivada parcial covariante de un campo tensorial . . . . 2.4.3. El operador gradiente . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4. El operador divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5. El operador rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.6. El operador laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.7. El operador v r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.8. Identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Deformación yrapidez de deformación 3.1. Deformación de un medio continuo . . . . . 3.1.1. Descripción Lagrangiana y Euleriana 3.1.2. Deformación de un cuerpo . . . . . . 3.1.3. Tensores de deformación y de . . . . 3.1.4. Medidas de strain . . . . . . . . . . 3.2. Vector de desplazamiento . . . . . . . . . . iii 1 1 2 4 5 5 5 5 8 10 10 11 17 17 22 22 23 25 26 29 32 33 34 37 37 37 38 40 41 42

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ÍNDICE GENERAL 3.3. Relaciones de los gradientes de deformación-tensión . . . . . . . . 3.3.1. Tensor de rotación in…nitesimal . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Derivada material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4.1. Descripción material o lagrangiana . . . . . . . . . . . . . 3.5. Rapidez de cambio de deformación, rapidez de cambio de tensión y rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Cambios en la longitud, área y volumen durante la deformación . 43 44 44 45 46 48 49 49 51 53 53 54 55 57 59 59 60 60 60 61 61 62 62 62 62 63 63 63 64 64 64 65 66 66 71 71 71 72 75 7677 77

4. Esfuerzo 4.1. Fuerzas de volumen y fuerzas de super…cie. Vector esfuerzo 4.2. Principio de los esfuerzos de Cauchy . . . . . . . . . . . . . 4.3. El tensor de esfuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Esfuerzos principales y esfuerzos cortantes máximos . . . . 4.4.1. Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2. Esfuerzos cortantes . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 4.5. Estados de esfuerzos esféricos y deviatorios . . . . . . . . . 5. Ecuaciones generales de balance 5.1. Ecuaciones de balance global . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Teorema del transporte de Reynolds . . . . . . . . 5.1.2. Ley del balance global de masa . . . . . . . . . . . 5.1.3. Ley de balance global de momentum lineal . . . . 5.1.4. Ley de balance global de...