Elementos de una elipse

Ecuación de la Elipse de centro el origen y ejes de coordenadas los ejes de la Elipse.
Consideremos la elipse de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X (fig. 2). Los focos F y F´están sobre el eje X. Como el centro O es el punto medio del segmento FF´ las coordenadas de F y F´ serán, por ejemplo, (c,0) y (-c,0), respectivamente, siendo c una constante positiva. Sea P(x,y) unpunto cualquiera de la elipse. Por la definición de la curva, el punto P debe satisfacer la condición geométrica

(1)
En donde a es una constante positiva y mayor que c.
Por el teorema de ladistancia d entre dos puntos, tenemos

=
,
=
, de manera que la condición geométrica (1) está expresada analíticamente por la ecuación

+
= 2a (2).
Para simplificar la ecuación (2),pasamos el segundo radical al segundo miembro, elevamos al cuadrado, simplificamos y agrupamos los términos semejantes. Esto nos da
cx+a2 = a
Elevando al cuadrado nuevamente obtenemos

de donde,(3)
Como 2a >2c es a2>c2 y
-c2 es un número positivo que puede ser reemplazado por el número positivo b2, es decir,
b2=
- c2 (4)
Si en (3) reemplazamos
- c2 por b2 obtenemos,
b2x2+a2y2=a2b2
y dividimos por a2b2 , se obtiene, finalmente,
(5)
Ahora discutiremos la ecuación (5). Por ser a y -a las intercepciones con el eje X, las coordenadas de los vértices V yV´ son (a, 0) y (-a, 0)respectivamente, y la longitud del eje mayor es igual a 2a, la constante que se menciona en la definición de la elipse. Las intercepciones con el eje Y son b y - b por tanto, las coordenadas de losextremos A y A´del eje menor son (0, b) y (0, - b) respectivamente la longitud del eje menor es igual a 2b.
Por la ecuación (5) vemos que la elipse es simétrica con respecto a ambos ejes coordenados yal origen.
Si de la ecuación (5) despejamos y, obtenemos
(7)
Luego, se obtienen valores reales de y solamente para valores de x del intervalo
(8)
Si de la ecuación (5) despejamos x, obtenemos ,...