Elementos finitos

NOTAS DE ANALISIS EN INGENIERIA
Jos´ Rafael Pacheco Vega
e
Facultad de Ingenier´ Mec´nica
ıa
a
Universidad de Guanajuato
Calle Tamp´ #912
ıco
Salamanca Guanajuato, C.P. 37480
M´xico
e
Copyright c 2001 by Jos´ Rafael Pacheco Vega. All rights
e
reserved.

Prefacio
Estas son notas para Ma1.6: An´lisis en Ingenier´ I, un curso para estudiantes
a
ıa
de postgrado. Se supone que losestudiantes que toman este curso estan familiarizados con algebra lineal y vectorial, ecuaciones diferenciales ordinarias y
parciales. El uso de la computadora es escencial para propositos de computaci´n
o
y para desplegar resultados visuales.
En este momento, estas notas son bosquejos; se recomienda al estudiante
hacer uso de la literatura presentada en la bliograf´ Los estudiantes deber´nıa.
a
de tratar de resolver los problemas al final de cada cap´
ıtulo a fin de reforzar su
aprendizaje.
Esta clase trata de presentar los conceptos fundamentales en las areas de calculo tensorial, geometria diferencial y mecanica del medio continuo. El material
que se presenta es adecuado para dos semestres en matematicas aplicadas y es
suficientemente flexible para ser usado en los cursosgraduados de ingenieria,
matematicas aplicadas y fisica.
Se pretende que el estudiante (i) desarrolle un entendimiento fisico de los
conceptos matematicos asociados con el calculo tensorial (ii) desarrollar las ecuaciones basicas de calculo tensorial, geometria diferencial y mecanica del medio
continuo que surgen de las aplicaciones en ingenieria.
El material esta dividido en dos partes. Laprimera trata de una introduccion
al calculo tensorial y geometria diferencial que cubre cosas tales como notacion
indicial, algebra tensorial, diferenciacion covariante, tensores duales, formas bilineales y multilineales, tensores especiales, el tensor de Riemann Christoffel,
curvas en el espacio, superficies en el espacio, curvatura y las formas cuadraticas fundamentales. La segunda parte hacehincapie en el uso y aplicacion del
algebra tensorial a una variedad de areas de la fisica e ingenieria.
Estare agradecido si recibo comentarios sobre estas notas, asi como de cualquier
error que se encuentre en el manuscrito.
Salamanca, Guanajuaro
J. R. P. V.
Enero, 2001.

ii

Contenido
Prefacio

ii

Lista de Tablas

iv

Lista de Figuras

v

1 Vectores y tensores
1.1 Vectores yescalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Transformaci´n dir´cta e inversa de los vectores base . . .
o
e
1.1.2 Producto punto o interno . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Producto cruz o externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 El producto triple escalar de tres vectores . . . . . . . . .
1.2 Bases reciprocas y t´picos relacionados . . . . . . . .. . . . . . .
o
1.2.1 Bases reciprocas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 La convenci´n de suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
1.2.3 Componentes covariantes y contravariantes de un vector .
1.2.4 Componentes f´
ısicas de un vector . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Relaci´n entre componentes covariantes y contravariantes
o
1.2.6 Bases ortogonales . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
1.2.7 Integrales de l´
ınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.8 Integrales de superf´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıcie
1.3 Teoremas especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3Identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Gradiente de un escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Divergencia de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Rotacional de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . ....