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FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS




PRESENTADO AL LICENCIADO


I SEMESTRE
LIC.BIOLOGIA Y QUIMICA




UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO
BARRANQUILLA
2013



DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO

El Plano Cartesiano se usa como un sistema de referencia para localizar puntos en un plano.
Otra de las  utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en que, a partirde la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x2 – x1).
Ejemplo:
La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0) es 5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades.Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

(1)

Para demostrar esta relación se deben ubicar lospuntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P1P2 y emplear el Teorema de Pitágoras.

Ejemplo:
Calcula la distancia entre los puntos P1(7, 5) y P2(4, 1)









d = 5 unidades

Demostración
Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano. 
  
 La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d =  esta dadapor:
 
(1)
En la Figura 1 hemos localizado los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) así como también el segmento de recta  
 


Figura 1


Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x (abscisas) y por P2 una paralela al eje y (ordenadas), éstas se interceptan en el punto R, determinado el triángulo rectángulo P1RP2 y en el cual podemos aplicar el Teorema de Pitágoras:



Pero:  ;  y 

Luego, 

  


  
En la fórmula (1) se observa que la distancia entre dos puntos es siempre un valor positivo.
El orden en el cual se restan las coordenadas de los puntos P1 y  P2 no afecta el valor de la distancia.


PUNTO MEDIO

Punto medio o punto equidistante, en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos.
Si esun segmento acotado, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento.



Coordenadas del punto medio de un segmento en el plano


Si los puntos extremos extremos de un segmento son A y B:


Las coordenadas del punto medio del segmento coincidencon la semisuma de las coordenadas de de los puntos extremos.



MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO DE RECTA

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento y que pasa por su punto medio.
Si tenemos un segmento AB, se denomina mediatriz del segmento a la recta perpendicular a él, que pasa por su punto medio.
El dibujo siguiente muestra la mediatriz y el punto medio de un segmento. 
Para su construcción, debemos seguir los pasos siguientes:
Sea AB el segmento.
Con el compás, haciendo centro en A, se traza una circunferencia que tenga un radio mayor que la mitad de AB, en un cálculo “al ojo”, ya que precisamente estamos buscando ese punto medio exacto.
Luego, haciendo centro en B, se traza otra circunferencia de igual radio que la primera.
Si ambas circunferencias nose cortan significa que debemos aumentar el radio de ambas.
Cuando ambas se cortan, la recta que une a las dos intersecciones de las circunferencias es la mediatriz del segmento AB.
La intersección de la mediatriz con el segmento AB es el punto medio M.
Importante
La mediatriz es uno de los objetos geométricos más importantes en otras construcciones más complejas. Esta importancia...