Elevtromagnetismo

Universidade do Algarve
Departamento de F´ ısica

Exerc´ ıcios de Electromagnetismo
Compilados por

Robertus Potting, Paulo Seara de S´ a e Orlando Camargo Rodr´ ıguez
Faro, 12 de Setembro de 2005

1

C´lculo Vectorial Elementar a
r = xex + yey + zez .

Ao longo desta sec¸˜o r representa o vector-posi¸˜o: ca ca

1.1

Gradiente, divergˆncia e rotacional e

Exerc´ ıcio 1Calcule: a) o gradiente de r. b) a divergˆncia de r. e c) o rotacional de r. Exerc´ ıcio 2 Calcule a divergˆncia dos seguintes vectores: e a) r/r. b) ex (x2 + yz) + ey (y 2 + xz) + ez (z 2 + xy). c) r × (ex y + ey z + ez x). Exerc´ ıcio 3 Calcule o gradiente de uma fun¸˜o escalar Ψ, tal que Ψ(x, y, z) = Ψ(r). ca Exerc´ ıcio 4 Calcule a divergˆncia do gradiente da fun¸˜o Ψ(x, y, z) = ex+y+z . e caExerc´ ıcio 5 Calcule o rotacional dos seguintes vectores: a) (r · A) r, onde A = ex + ey + ez . b) (r · A) B, onde A = ex + ey + ez e B = ex − ey − ez . Exerc´ ıcio 6 Calcule (A · ) r, onde A = A(x, y, z).

1.2
i. ii. iii. iv. v.

Identidades
(ΨΦ) = Φ Ψ + Ψ Φ. · (ΨA) = Ψ × (ΨA) = Ψ ·A+ ×A+ Ψ · A. Ψ × A. × B). )B − B( · A) + A( · B).

Exerc´ ıcio 7 Demonstre as seguintes identidades paraquaisquer fun¸˜es Ψ, Φ, A e B: co

· (A × B) = B · ( × (A × B) = (B ·

× A) − A · ( )A − (A ·

Exerc´ ıcio 8 Calcule Exerc´ ıcio 9 Calcule

· (rn−1 r) (sugest˜o: aplique a identidade 7.ii). a × (Ψ(r)r) (sugest˜o: aplique a identidade 7.iii). a 1

1.3

Aplica¸oes sucessivas de c˜
2

Exerc´ ıcio 10 Calcule Exerc´ ıcio 11 Calcule

Ψ(r).

× (Ψ Ψ) (sugest˜o: aplique a identidade 7.iii). aExerc´ ıcio 12 Verifique as seguintes identidades: a) b) × · Ψ = 0. × A = 0. × A) = × A) =
2 1 2

c) A × ( d) e) ×(
2

(A2 ) − (A · ( · A) − (
2

)A. · )A. Φ.

(ΨΦ) = Φ

Ψ+Ψ

Φ+2 Ψ·

1.4

Gradiente, divergˆncia e rotacional em coordenadas cil´ e ındricas
ex = er cos φ − eφ sin φ . ey = er sin φ + eφ cos φ

Exerc´ ıcio 13 Demonstre que em coordenadas cil´ ındricas (r, φ, z)Exerc´ ıcio 14 Mostre que em coordenadas cil´ ındricas Ψ = er onde Ψ = Ψ(r, φ, z). Exerc´ ıcio 15 Mostre que ·A= onde A = Ar er + Aφ eφ + Az ez . Exerc´ ıcio 16 Calcule div A e rot A, onde A = rer + zez . Exerc´ ıcio 17 Mostre que rot A s´ tem componente z se A(r, φ) = er Ar (r, φ)+eφ Aφ (r, φ). o 1 ∂ 1 ∂Aφ ∂Az (rAr ) + + , r ∂r r ∂φ ∂z ∂Ψ 1 ∂Ψ ∂Ψ + eφ + ez , ∂r r ∂φ ∂z

1.5

Gradiente,divergˆncia e rotacional em coordenadas esf´ricas e e
ex = er sin θ cos φ − eφ sin φ + eθ cos θ cos φ ey = er sin θ sin φ + eφ cos φ + eθ cos θ sin φ ez = er cos θ − eθ sin θ

Exerc´ ıcio 18 Demonstre que em coordenadas esf´ricas (r, θ, φ) e

(sugest˜o: projecte os versores er , eφ e eθ sobre os versores ex , ey e ez , determine a matriz a de projec¸˜o e calcule a respectiva inversa). ca 2Exerc´ ıcio 19 Mostre que Ψ = er onde Ψ = Ψ(r, θ, φ). Exerc´ ıcio 20 Calcule grad (rn ). Exerc´ ıcio 21 Calcule div (rn er ). Exerc´ ıcio 22 Calcule ∆(rn ). ∂Ψ 1 ∂Ψ 1 ∂Ψ + eθ + eφ , ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ

1.6

Integrais de volume, de superf´ ıcie e de linha

Exerc´ ıcio 23 Escreva em coordenadas cartesianas: (a) O elemento de volume dV ; (b) O elemento de ´rea nos planos XY , Y Z e XZ; (c) Asnormais correspondentes aos elementos a de ´rea, dS; (d) O elemento de comprimento, dl, ao longo dos eixos X, Y e Z. a Exerc´ ıcio 24 Demonstre que em coordenadas cil´ ındricas (r, φ, z) o elemento de volume corresponde a dV = r dr dφ dz . Use dV para demonstrar que os volumes de um cil´ ındro e de um cone, de raio R na base e altura h, correspondem respectivamente a
2 Vcil´ ındro = π R h

eVcone =

1 π R2 h . 3

Exerc´ ıcio 25 Escreva em coordenadas cil´ ındricas o elemento de ´rea da base de um a cilindro, cuja base est´ apoiada na plano XY . Indique a normal correspondente. a Exerc´ ıcio 26 Escreva em coordenadas cil´ ındricas o elemento de ´rea da superf´ lateral a ıcie de um cilindro, cuja base est´ apoiada na plano XY . Indique a normal correspondente. a Exerc´ ıcio 27...