Eliminación De Gauss En Matlab

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TUXTLA GUTIÉRREZ
ING. ELÉCTRICA

MÉTODOS NUMÉRICOS
M.C. MARIO ALBERTO DE LA CRUZ PADILLA

ELIMINACION DE GAUSS CON MATLAB
Manual del usuario
Por:
Beltrán Gutiérrez Julio Sinuhé
Jiménez Morales Rodolfo
Lara Jiménez José David
Robles González Antonio de JesúsSánchez Alegría Avisaí

Tuxtla Gutiérrez, Chiapas; a 09 de junio de 2011.
TEORÍA Y LÓGICA DE PROGRAMACIÓN
ELIMINACIÓN DE GAUSS
TEORÍA
El método de gauss para resolver un sistema de ecuaciones lineales es el siguiente, veamos un ejemplo:
Ejemplo 1: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el método de Gauss,
-x+2y+7z=2
2x+4y+8z=2
-x+2y+3z=-1
Primer paso: convieneordenar la matriz descendentemente mediante la primera variable de la izquierda,
2x+4y+8z=2…ec1
-x+2y+7z=2…ec2
-x+2y+3z=-1…ec3
Segundo paso: eliminación de gauss. Para que nuestra matriz que de triangular, debemos eliminar la variable x de la ec2, y las variables x y y de la ec3. Por lo tanto,
ec2.1: ec2--12*[ec1]

ec2.1:-x+2y+7z=2--12*[2x+4y+8z=2]
ec2.1: 4y+11z=3
2x+4y+8z=2…ec14y+11z=3…ec2.1
-x+2y+3z=-1…ec3
Para 3.1 se tiene,
c3.1: ec3--12*[ec1]
ec3.1:-x+2y+3z=-1--12*[2x+4y+8z=2]
ec3.1: 4y+7z=0

2x+4y+8z=2…ec1
4y+11z=3…ec2.1
4y+7z=0…ec3.1
Para 3.2 obtenemos,
c3.2: ec3.1--44*[ec2.1]
ec3.2: 4y+7z=0--44*[4y+11z=3]
ec3.2: -4z=-3
Nuestra matriz triangular es la siguiente,
2x+4y+8z=2…ec1
4y+11z=3…ec2.1
-4z=-3…ec3.2
Una vez que tenemos nuestra matriz triangular, elúltimo paso (3), consiste en despejar cada variable de nuestra matriz triangular,
z=-3-4=0.75
y=3-11z4=3-11(0.75)4=-1.3125
x=2-8z-4y2=2-80.75-4(-1.3125)2=1.25
1
Es decir, en pocas palabras, para cualquier número de variables, tenemos el siguiente algoritmo general,
2
2.1

3.2
3.1
3

4.2
4.3
4.1
4

……

n.n-1
……
n.3
n.2
n.1
n

Donde: n=numero de ecuaciones o variables.LÓGICA
La lógica de programación consiste en hacer los 3 pasos vistos en la sección anterior, trabajando con la matriz aumentada del sistema de ecuaciones.
Primer paso: conviene ordenar la matriz descendentemente mediante la primera variable de la izquierda,
Este paso abarca la solución de que si el usuario desde el principio del programa inserta una matriz que ya es triangular y también laconveniencia del primer paso,

Ejemplo: El usuario inserta un sistema de ecuaciones como el siguiente,
A=056712340089
La conveniencia del primer paso nos dice que la fila 2 debe estar en la fila 1, y para no tener problemas en los cálculos la fila 1 debe estar en la fila 2. Por lo tanto hacemos una matriz AN de ceros del mismo tamaño que A, esto es para guardar las filas de A.AN=000000000000
Para ordenar haremos lo siguiente: rectificamos cual es mayor número de la primera columna de A, y la donde fila donde esté ese número, la guardamos en la primera fila de AN, y borramos la fila de la matriz A donde se encuentra el numero mayor. El mayor número de de primera columna de es 1, y la fila es [1 2 3 4], la guardamos en AN y nos queda lo siguiente,
AN=123400000000
Borramos lafila de la matriz A donde se encuentra ese número,
A=05670089
Repetimos el proceso ahora para la columna 2, y nos queda lo siguiente,
AN=123405670000

A=0089
Ahora para la columna 3,
AN=123405670089
A=[Matriz vacia]
Para seguir trabajando con la matriz A, solo es cuestiona de igualar A=AN,
A=AN=123405670089
De esta manera ordenamos nuestra matriz.
Segundo paso: eliminación degauss. Para seguir con este paso veamos el ejemplo 1 de la sección anterior,
-x+2y+7z=2
2x+4y+8z=2
-x+2y+3z=-1

A=-12722482-123-1
Ordenando la matriz aumentada del sistema nos queda lo siguiente,
A=2482-1272-123-1

MATLAB puede manipular las filas dándole otros valores, si A es una matriz el comando A(n,:) sirve para manipular únicamente la fila ubicada en n, y el comando A(:,n)...