Eliminacion gaussiana

ELIMINACIÓN GAUSSIANA

Este método se aplica para resolver sistemas lineales de la forma:
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El método de eliminación Gaussiana (simple), consiste en escalonar la matriz aumentada del sistema:
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para obtener un sistema equivalente :
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donde la notación se usa simplemente para denotar que el elemento cambió. Se despejan las incógnitas comenzando con la última ecuacióny hacia arriba. Por esta razón, muchas veces se dice que el método de eliminación Gaussiana consiste en la eliminación hacia adelante y sustitución hacia atrás.
Ejemplo:
1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
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usando el método de eliminación Gaussiana (simple). 
Solución . Escalonamos la matriz aumentada del sistema:
(se multiplica la primera fila por -7 y -4y se restan con la segunda y tercera fila respectivamente)
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(se multiplica la segunda fila por -2 y se suma con la tercera fila)
Y dividiendo el segundo renglón entre –3 , tenemos la matriz equivalente:
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Por lo tanto, el sistema equivale a:
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De la última ecuación tenemos ; sustituímos este valor en la ecuación de arriba para obtener ; sustituímos estos valores en laecuación de arriba para obtener .  
Por lo tanto, la solución del sistema es:
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2) Resolver:
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usando eliminación Gaussiana (simple).
Solución. Escalonando la matriz aumentada del sistema:
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Por lo tanto, el sistema equivale a:
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De la ecuación ( 3 ) obtenemos ; sustituímos arriba para obtener ; sustituímos arriba para obtener . 
Por lo tanto la solucióndel sistema es:
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El método de eliminación Gaussiana (simple) puede presentar un problema cuando uno de los elementos que se usan para hacer ceros, es cero. 
Por ejemplo, supóngase que en algún paso del proceso de hacer ceros tenemos la siguiente matriz:
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Es claro que el elemento no puede usarse para hacer ceros! 
Este problema se puede resolver fácilmente intercambiandolos renglones 2 y 3 . De hecho, el resultado que obtenemos es la matriz escalonada :
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Sin embargo, el problema puede presentarse también si el elemento aquel es muy cercano a cero.
Ejemplo: Resolver el siguiente sistema, usando eliminación Gaussiana (simple)
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Solución. Usando eliminación Gaussiana (simple) obtenemos:
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Que nos da el sistema equivalente:
||
De donde, ; sustituímos arriba y obtenemos:
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El resultado cambia drásticamente de acuerdo al número de cifras significativas que se usen. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
#
Cifras
Significativas | | | (*)
Error relativo porcentual |
3 | 0.667 | -33 | 10,000 % |
4 | 0.0067 | -3 | 1,000 % |
5 | 0.00067 | 0 | 100 % |
6 | 0.000067 | .3 | 10 % |
7 |0.6666667 | 0.33 | 1 % |
(*) Para calcular este error se tomó el valor verdadero de . 
Ahora resolvemos el mismo sistema pero intercambiando los renglones 1 y 2
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Lo cual nos da el sistema equivalente:
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De donde obtenemos ; sustituyendo arriba nos da:
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Nuevamente tomamos distintas cifras significativas y resumimos los resultados en la siguiente tabla: 
#
CifrasSignificativas |
|
| (*)
Error Relativo
Porcentual |
3 | 0.667 | 0.333 | 0.1 % |
4 | 0.6667 | 0.3333 | 0.01 % |
5 | 0.66667 | 0.33333 | 0.001 % |
6 | 0.666667 | 0.333333 | 0.0001 % |
7 | 0.6666667 | 0.3333333 | 0.00001 % |
 En este último caso, vemos que el error relativo porcentual no varía drásticamente como en la solución anterior. 
Así, vemos que los elementos que son cercanos acero, son elementos malos para hacer ceros. En general, para evitar este problema se elige como elemento para hacer ceros (el cual recibe el nombre de elemento pivotal o simplemente pivote) como el elemento mayor en valor absoluto de entre todos los candidatos. 
A este procedimiento se le llama pivoteo parcial y aplicado a la eliminación Gaussiana, nos dá el llamado método de...