Eliminación Gaussiana En C

Universidad de Chile ´ Facultad de Cs. F´ ısicas y Matematicas Escuela de Ingenier´ ıa

TAREA No1 ” Eliminaci´n Gaussiana” o MA33A

Fernando A. Crespo Romero.

Contents
1 Introducci´n o 2 Introducci´n Te´rica o o 2.1 Eliminaci´n Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.1.1 2.1.2 Teorema 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . Proceso de soluci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o ii ii ii iv vii viii

3 An´lisis de los Algoritmos a 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

Constantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii Tipos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii Variables . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Procedimientos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x xi

Procedimientos de Interfaz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xviii Procediminetos Principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix xxxiv liii liii lv lvii lix lx

4 Cuerpo del programa 5 Entrada de datos 5.15.2

Matriz 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matriz 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Concluciones y An´lisis a 6.1 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Bibliograf´ ıa

i

1

Introducci´n o

La presente tarea No 1 tiene porobjeto programar y analizar la eliminaci´n gaussiana, o abarcando todas sus variantes.

2
2.1

Introducci´n Te´rica o o
Eliminaci´n Gaussiana o

El m´todo m´s usado para resolver sistemas lineales de ecuaciones algebraicas y para e a invertir matrices, es atribuido a Gauss. Este es, basicamente, el procedimiento elemental en el cual la ” primera ecuaci´n ” es usada para eliminar la primeravariable de las n - 1 ecuaciones o restantes, luego la nueva ” segunda ecuaci´n ” es usada para eliminar la segunda variable de o las n - 2 ecuaciones restantes, etc. Si las n - 1 eliminaciones pueden ser realizadas, entonces el sistema lineal resultante que es equivalente1 a el sistema original, es triangular y por lo tanto f´cilmente resoluble. Por supuesto el orden de las ecuaciones en el sistema yde las inc´gnitas a o es arbitrario y as´ no hay un unico orden en el cual el procedimiento puede ser ocupado. Como ı ´ nosotros veremos ( en el programa tambi´n ), el ordenamiento es importante cuando algunos e ordenamientos pueden permitir menos de las n - 1 eliminaciones, mientras entre los ordenes permisibles, algunos ser´n preferidos porque ellos producen resultados m´s precisos. a a Enorden para describir la secuencia espec´ ıfica de operaciones aritmeticas usadas en la eliminaci´n gaussiana, nosotros debemos usar el orden natural en el cual el sistema es dado, es o decir

Ax = b donde
1†

(1)

Dos sistemas son equivalentes ssi toda soluci´n de uno es soluci´n del otro o o

ii



A ≡ (aij ),

x≡ 


 

x1 x2 . . . xn

   ,  



b≡ 


 b1 b2 . . . bn

   ,  

(2)

Antes que la variable xk sea eliminada, nosotros denotamos el sistema equivalente (i.e. , el sistema reducido), desde el cual x1 , x2 , . . . , xk−1 han sido eliminadas, por

A(k) x = b(k) , donde

k = 1, 2, . . . , n,

(3)



A

(k)

≡

(k) (aij ),

b

(k)

≡

     

b1 (k) b2 . . . b(k) n

(k)

    ,  

(4)Para k = 1 nosotros tenemos A(1) ≡ A, b(1) ≡ b, y los elementos (4) para k = 2, 3, . . ., n, son calculados recursivamente por



aij
(k−1) aij

(k−1)

aij = 

(k)

  

0 −
ai,k−1
(k−1) (k−1)

ak−1,k−1

(k−1) ak−1,j

para i ≤ k − 1,  para i ≥ k, j ≤ k − 1,   para i ≥ k, j ≥ k




(5)



bi

(k)

bi bi
(k−1)

(k−1) ai,k−1
(k−1)

para i ≤ k...