Elipse Hiperbola

LA ELIPSE
Y
LA HIPÉRBOLA
UNIDAD 14

Objetivo general.
Al terminar esta Unidad
aplicarás las definiciones y
los elementos que
caracterizan a la elipse y a la
hipérbola en las soluciones
de ejercicios y problemas.

ÍNDICE

EJEMPLOS
OBJETIVO 1

OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1. Recordarás y aplicarás la definición de la elipse como un
lugar geométrico y su ecuación en la forma canónica.
2. Recordarás yaplicarás la definición de la hipérbola como
un lugar geométrico, su ecuación en la forma canónica.
3. Recordarás y aplicarás la forma general de la ecuación de
una elipse y de una hipérbola y las características de los
coeficientes de una ecuación de segundo grado que
representa a una elipse o a una hipérbola.

Objetivo 1. Recordarás y aplicarás la definición de la
elipse como un lugar geométricoy su ecuación en la
forma canónica y en la forma general.

Definición. La elipse es el lugar geométrico
de un punto que se mueve en un plano de
tal manera que la suma de sus distancias
a dos puntos fijos, situados en el mismo
plano, llamados focos, es una cantidad
constante y mayor que la distancia entre
los focos.

Se llama eje focal a la recta que pasa por
los focos (F y F’) y que corta a laelipse en
dos puntos llamados vértices (V y V’). La
porción del eje focal comprendida entre los
vértices: se llama eje mayor VV
y su
' longitud
se designa como 2a. La longitud
del
FF ' 
2ceje
focal es
.
La recta perpendicular al eje focal en el
centro de la elipse se llama eje normal,
AAy'
corta a la curva en dos puntos, A y A’. El
segmento
es el eje menor de la elipse
y su longitud es 2b.

Laposición del eje focal define la posición
de la elipse: horizontal, si su eje focal es
paralelo o coincide con el eje x (Figura
6.1a); vertical, si su eje focal es paralelo o
coincide con el eje y (Figura 6.1b); o
inclinada. Si la posición de la elipse es
inclinada, se recurre a la rotación de ejes
para analizarla.

Figura 1.1a.

Figura 1.1 b.

• La elipse es una curva simétrica con respecto a
susdos ejes, que tiene dos lados rectos: las dos
rectas perpendiculares al eje mayor que pasan por
los focos y unen dos puntos de la curva. La elipse
tiene dos directrices: las rectas perpendiculares al
eje focal que se encuentran a la misma distancia
de los vértices que los focos, pero en el lado
opuesto, es decir fuera de la elipse.
• Para determinar la ecuación del lugar geométrico
que define ala elipse, en el caso en que la curva
tiene su centro en el origen y su eje focal coincide
con el eje x, como los focos se encuentran sobre el
eje de las abscisas, sus coordenadas son F(c, 0),
F’(–c, 0), siendo c una constante positiva.

Si P(x, y) es un punto cualquiera de la elipse, de
acuerdo con la definición de esta curva P debe
satisfacer la condición:

FP  F ' P  2a ;

donde a > c

Alsustituir en la fórmula para calcular la distancia de cada segmento se tiene:

 x  c  2   y  0 2



 x  c  2   y  0 2

Desarrollando:

 x  c

2





 x  c   y 2


x 2  2 xc  c 2  y 2 4a 2  4a

 x  c 2  y 2

2

 y  2a 

 x  c

4a

2

y

2

2

2

 x  c 2  y 2

2a
 2a 



 x  c    y 2

2

 x 2  2 xc  c 2  y 2

4a 2  4 xc

2

 a


 x c  y 
2

2

2





  a  xc 
:

2

2



a 2 x 2  2 xc  c 2  y 2 a 4  2a 2 xc  x 2 c 2
x 2 a 2  2a 2 xc  a 2 c 2  a 2 y 2 a 4  2a 2 xc  x 2 c 2
x 2 a 2  x 2 c 2  a 2 y 2 a 4  a 2 c 2







x 2 a 2  c 2  a 2 y 2 a 2 a 2  c 2



Como a  c, a 2  c 2 y la expresión  a 2  c 2   0
puede ser reemplazada por un número positivo

Sustituyendo:

b 2 x 2  a 2 y 2 a2 b 2

Y dividiendo por

2

a b

2

b

2

2

2

b a  c
2

2

2

x
y


1
2
2
a
b

x2
y2
 2 1
Características de la ecuación de una elipse
2 :
a
b
Centro:

C(0, 0)

Eje focal:

eje x

Vértices:

V(a, 0) y V’(–a, 0)

Focos:

F(c, 0), F’(–c, 0)

Distancia focal:

2c

Longitud del eje mayor:

2a

Longitud del eje menor:

2b

Longitud de cada lado recto:
Excentricidad:

2b 2
a
c
a 2  b2
e ...