elipse y hiperbola

UNIDAD 14
LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA

EJERCICIOS RESUELTOS

Objetivo general.
Al terminar esta Unidad aplicarás las definiciones y los
elementos que caracterizan a la elipse y a la hipérbola en
las soluciones de ejercicios y problemas.

Objetivo 1. Recordarás y aplicarás la definición de la elipse como un lugar geométrico
y su ecuación en la forma canónica y en la forma general.Ejercicios resueltos:
1.) Encuentra la ecuación de la elipse con focos F(0, 3) y F’(0, –3), y cada uno de sus
lados rectos igual a 9.

Como los focos tienen la misma abscisa, el eje focal es el eje y. El centro se
encuentra en el punto medio entre ellos: C(0, 0).

La distancia c es:

c  03  3
b2  a2  c 2 ,

b2  a2  9

El lado recto es:

LR 

2b 2
9
a





2 a2  99
a

Sustituyendo:

2a 2  9a  18  0

a

  9 

a

 9 2  42 18
22

9  81  144 9  15

4
4

a1 

24
6
4

a2  

6
3

4
2

El valor negativo de a no se considera puesto que a es una longitud. Por tanto a = 6.

b2  a2  9
b 2  36  9  27

La ecuación de la elipse es

x2 y2

1
27 36

2.) Los focos de una elipse son los puntosF(3, 8) y F’(3, 2) y la longitud de su eje
menor es 8. Encuentra la ecuación de la elipse, las coordenadas de sus vértices y su
excentricidad.

El eje focal es paralelo al eje y.
El centro tiene la misma abscisa que los focos: h = 3.

La distancia entre los focos es:

c

82
3
2

→ C(3, 5)

k=2+c= 2+3 =5

2b = 8
b=4

a2  b2  c2
a 2  16  9  25

Ecuación de laelipse:

x  32   y  52
16

25

Vértices: V(h, k + a) = (3, 5 + 5) = (3, 10);
Excentricidad: e 

1

V’(h, k – a) = (3, 5 – 5) = (3, 0)

c
3
=
a
5

3.) Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto
(4, 0) es igual a la mitad de su distancia a la recta x – 16 = 0 e interpreta el
resultado.

Distancia de un punto (x, y) al punto (4, 0): d1

 x  4 2   y  0 2

Distancia del mismo punto (x, y) a la recta x – 16 = 0: d 2 
d1 

 x  4

x 2  8 x  16  y 2 

 12

1
d2
2

2

 y2 =

2

 y2 

 x  4

x  16

1
 x  16 
2

1
2
 x  16 
4

1 2
1
x  32 x  256  x 2  8 x  64
4
4





3 2
x  y 2  48
4

3x 2
y2

1
4  48  48

x2 y2

1
64 48

Ellugar geométrico descrito es una elipse horizontal con centro en el origen, eje
mayor igual a 2(8) = 16 y eje menor igual a 2 48 .

4.) Un arco con forma de semielipse tiene una altura máxima de 45m y un claro de
150m. Encuentra la longitud de dos soportes verticales situados de manera que
dividan en claro en tres espacios iguales.

Si el eje x es la base del arco (el eje focal de la elipse)y el origen es su punto medio,
la ecuación es del tipo

x2 y2

 1 , con el semieje mayor, a = 75 y el semieje
a2 b2

menor, b = 45. Para que el claro se divida en tres partes iguales, la distancia de los
soportes a cada vértice y entre ellos debe ser de 50m.

La ecuación es:

x2
y2

1
5625 2025

Para determinar la altura de los soportes, se hace x =  25 en la ecuación yse
despeja el valor de y:

 25

2

y2

1
5625 2025

625
y2

1
5625 2025
1
y2

1
9 2025
y2
8

2025 9
y2 

16200
 1800
9
y  30 2

Puesto que y es una longitud (la altura de los postes), se toma sólo la raíz positiva.

Objetivo 2. Recordarás y aplicarás la definición de la hipérbola como un lugar
geométrico y su ecuación en la forma canónica.Ejercicios resueltos:
1.) Encuentra los elementos de la hipérbola

y2 x2

1
9 16

a 2  9 ; b 2  16 → a = 3; b = 4
c2  a2  b2
c 2  9  16  25
c  5 (la raíz negativa se descarta)

Centro

C(0, 0)

Eje focal

El eje y

Vértices

V(0, 3),

V’(0, –3)

Focos

F(0, 5),

F’(0, –5)

Distancia focal

10

Longitud del eje transverso

6

Longitud del eje conjugado...