Elipse y hiperbole
Páginas: 8 (1802 palabras)
Publicado: 4 de diciembre de 2010
Trabajo de algebra
Elipse e hipérbola
[pic]
La elipse
Concepto:
Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de modo que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos.
Análisis del concepto: Los dos puntos fijos se denominan focos de la elipse. Tal como puedeobservarse en la figura 1, sean F Y F” los focos de una elipse. La recta r que pasa por los focos recibe el nombre de eje focal.
El eje focal corta a la elipse en dos puntos, V Y V”, que se denominan vértices. La porción del eje focal comprendida entre los vértices, es decir, el segmento VV”, se llama eje mayor. El punto C del eje focal, punto medio del segmento que une los focos, se denominacentro. La recta r” que pasa por C y es perpendicular al eje focal r recibe el nombre de eje normal. El eje normal r” corta a la elipse en dos puntos, A Y A” se denomina eje menor. Un segmento como A y A” y el segmento AA” se denomina eje menor. Un segmento como BB” que une dos puntos diferentes cuales quiera de la elipse se llama cuerda.
[pic]
Con el punto P se llaman radiosvectores de P. (La suma de la distancia Una cuerda que pasa por uno de los focos se denomina cuerda focal. Una cuerda focal, tal como LL” perpendicular al eje focal r, se llama recto. Como la elipse tiene dos focos, tiene también dos lados rectos. Una cuerda que pasa por C, tal como DD” se denomina diámetro. Si P es un punto cualquiera de la elipse, los segmentos FP y F”P que unen los focos de losradios vectores en cualquier punto de la elipse es constante)
Ecuaciones de la Elipse
Tal como puede observarse en la figura 2, consideremos la elipse de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje x.
Los focos F y F” están sobre el eje x. Como el centro 0 es el punto medio del segmento FF”, las coordenadas de F y F” serán (c, 0)y(c, 0), respectivamente, siendo c una constante positiva.
[pic]
Sea P(x, y) un punto cualquiera de la elipse. El punto P debe satisfacer la ecuación
[pic]
Siendo a una constante positiva mayor que c, Ahora bien, de modo que la condición geométrica queda expresada analíticamente por la ecuación
([pic]
Transponiendo el primer radical al segundo lado yelevando ambos miembros al cuadrado, se obtiene: [pic]
Simplificando la última igualdad se llega:
[pic]
Al elevar nuevamente ambos miembros al cuadrado en la última ecuación, se obtiene:
[pic]
La cual se reduce a:
[pic]
Como 2ª > 2c se cumple que a² > c² y, por lo tanto, a²-c² es un numero positivo que puede ser reemplazado por el numero positivo b², es decir,b²= a²-c²
Sustituyendo a²-c² por b², se obtiene
b²x²+a²y²= a²b²
Dividiendo por a²b² resulta
X²/a²+y²/b² = 1
Por ser a y-a las intersecciones con el eje X, las coordenadas de los vértices V Y V” son(a, 0) y (-a, 0), respectivamente, y la longitud del eje mayor es igual a 2a.
Las intersecciones con el eje Y son b y –b.
Porlo tanto, las coordenadas de los extremos A Y A” del eje menor son (0, b) y (0, b), respectivamente, y la longitud del eje menor es igual a 2b.
Así pues, la elipse es simétrica con respecto a ambos ejes coordenados y al origen.
Despejando y en la ecuación de la elipse se obtiene
[pic]
De manera que se obtienen valores reales de x, únicamente para valores de y comprendidosen el intervalo siguiente.
de los resultados anteriores se deduce que la elipse esta limitada por el rectangulo cuyos lados son las rectas x= y Y= .Por lo tanto, la elipse es una curva cerrada y, evidentemente, no tiene asintoras verticales ni horizantales.
La abscisa del foco F es c. Si sustituimos x por este valor se obtienen las coordenadas correspondientes que son
De...
Elipse e hipérbola
[pic]
La elipse
Concepto:
Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de modo que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos.
Análisis del concepto: Los dos puntos fijos se denominan focos de la elipse. Tal como puedeobservarse en la figura 1, sean F Y F” los focos de una elipse. La recta r que pasa por los focos recibe el nombre de eje focal.
El eje focal corta a la elipse en dos puntos, V Y V”, que se denominan vértices. La porción del eje focal comprendida entre los vértices, es decir, el segmento VV”, se llama eje mayor. El punto C del eje focal, punto medio del segmento que une los focos, se denominacentro. La recta r” que pasa por C y es perpendicular al eje focal r recibe el nombre de eje normal. El eje normal r” corta a la elipse en dos puntos, A Y A” se denomina eje menor. Un segmento como A y A” y el segmento AA” se denomina eje menor. Un segmento como BB” que une dos puntos diferentes cuales quiera de la elipse se llama cuerda.
[pic]
Con el punto P se llaman radiosvectores de P. (La suma de la distancia Una cuerda que pasa por uno de los focos se denomina cuerda focal. Una cuerda focal, tal como LL” perpendicular al eje focal r, se llama recto. Como la elipse tiene dos focos, tiene también dos lados rectos. Una cuerda que pasa por C, tal como DD” se denomina diámetro. Si P es un punto cualquiera de la elipse, los segmentos FP y F”P que unen los focos de losradios vectores en cualquier punto de la elipse es constante)
Ecuaciones de la Elipse
Tal como puede observarse en la figura 2, consideremos la elipse de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje x.
Los focos F y F” están sobre el eje x. Como el centro 0 es el punto medio del segmento FF”, las coordenadas de F y F” serán (c, 0)y(c, 0), respectivamente, siendo c una constante positiva.
[pic]
Sea P(x, y) un punto cualquiera de la elipse. El punto P debe satisfacer la ecuación
[pic]
Siendo a una constante positiva mayor que c, Ahora bien, de modo que la condición geométrica queda expresada analíticamente por la ecuación
([pic]
Transponiendo el primer radical al segundo lado yelevando ambos miembros al cuadrado, se obtiene: [pic]
Simplificando la última igualdad se llega:
[pic]
Al elevar nuevamente ambos miembros al cuadrado en la última ecuación, se obtiene:
[pic]
La cual se reduce a:
[pic]
Como 2ª > 2c se cumple que a² > c² y, por lo tanto, a²-c² es un numero positivo que puede ser reemplazado por el numero positivo b², es decir,b²= a²-c²
Sustituyendo a²-c² por b², se obtiene
b²x²+a²y²= a²b²
Dividiendo por a²b² resulta
X²/a²+y²/b² = 1
Por ser a y-a las intersecciones con el eje X, las coordenadas de los vértices V Y V” son(a, 0) y (-a, 0), respectivamente, y la longitud del eje mayor es igual a 2a.
Las intersecciones con el eje Y son b y –b.
Porlo tanto, las coordenadas de los extremos A Y A” del eje menor son (0, b) y (0, b), respectivamente, y la longitud del eje menor es igual a 2b.
Así pues, la elipse es simétrica con respecto a ambos ejes coordenados y al origen.
Despejando y en la ecuación de la elipse se obtiene
[pic]
De manera que se obtienen valores reales de x, únicamente para valores de y comprendidosen el intervalo siguiente.
de los resultados anteriores se deduce que la elipse esta limitada por el rectangulo cuyos lados son las rectas x= y Y= .Por lo tanto, la elipse es una curva cerrada y, evidentemente, no tiene asintoras verticales ni horizantales.
La abscisa del foco F es c. Si sustituimos x por este valor se obtienen las coordenadas correspondientes que son
De...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.