Elipse

FORMA ORDINARIA DE LA ECUACION DE LA ELIPSE VERTICAL CON CENTRO EN EL ORIGEN

Consideremos una elipse vertical, con centro en el origen. Sea P un punto cualquiera de la elipse de coordenadasP(x,y); sean F(0,c) y F´(0,-c) los focos de esta elipse, como se muestra en la figura.

[pic]

Por la definición de elipse podemos escribir:

PF + PF´= 2a√x² + (y-c)² + √x² + (y+c)² = 2a

√x² + (y-c)² = 2a -√x² + (y+-c)²

Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación:

(√x² + (y-c)²)² = (2a -√x²+ (y+-c)²)²

x² + (y-c)² = 4a² -4a √x² + (y+-c)² + x² + (y+c)²

-4cy-4a² = -4a √x²+(y+c)²

cy+a² = a √x²+(y+c)²

otra vez elevamos alcuadrado a ambos miembros de la ecuación:

(cy+a²)² = (a √x²+(y+c)²)²

c²y²+2a²cy+a⁴ = a² (x²+y²+2cy+c²)

c²y²+2a²cy+a⁴ = a²x²+a²y²+2a²cy+a²c²c²y²+a⁴ = a²x²+a²y²+a²c²

sustituyendo el valor de c² = a²-b² en la ecuación anterior:

(a²-b²)y²+a⁴ = a²x²+a²y²+a²(a²-b²)a²y²-b²y²+a⁴ = a²x²+a²y²+a⁴-a²b²

-b²y² = a²x²-a²b²

-a²x²-b²y² = -a²b²

a²x² +b²y² = a²b²Dividiendo toda la ecuación entre a²b²

a²x² +b²y² = a²b²

a²b² a²b² a²b²

Simplificamos: x² +y²= 1b² a²

y esta es la forma ordinaria de la ecuación de la elipse vertical con centro en el origen.

LONGITUD DE LOS LADOS RECTOS DE LA ELIPSE

Esta longitud se calcula apartir de la forma ordinaria de la ecuación de la elipse horizontal, con centro en el origen, para lo cual despejamos y:

x² +y²= 1 y² =1-x² = a²-x²...