Elipse

La simetría de una curva con respecto a los ejes coordenados y al origen.



En esta gráfica puedes entender la definición de simetría con respecto a X: la parte superior de la gráfica localizada arriba del eje X, es como el reflejo en el espejo de la parte inferior, localizada abajo del eje X y viceversa.

En esta gráfica observas la simetría con respecto a Y: la parte de la gráfica de laizquierda del eje Y, es la reflexión de la parte de la derecha del eje Y y viceversa.

http://sebatmath.tripod.com/main/lecture_notes/10th_class/analytic_line/symmetry.pdf

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Simetría con respecto al origen.
• El punto tiene simetría con respecto al eje Y y también con respecto al eje X. • La distancia delpunto al origen en línea recta, es la misma que la distancia de su simétrico al origen en línea recta.

La parábola tiene simetría con respecto al eje Y

http://sebatmath.tripod.com/main/lecture_notes/10th_class/analytic_line/symmetry.pdf http://library.thinkquest.org/20991/alg2/quad2.html



¿Cómo se puede establecer si un punto o una curva tiene simetría con respecto a los ejes y alorigen? • Con respecto al eje X: Se sustituye y por –y en la ecuación. Si al terminar la sustitución y las operaciones queda una ecuación igual a la original, entonces existe simetría con respecto a X.

• Con respecto al eje Y: Se sustituye x por –x en la ecuación. Si queda una ecuación igual a la original, existe simetría con respecto a Y.

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•Con respecto al origen: Se sustituye y por –y y x por –x en la ecuación. Si queda una ecuación igual a la original, existe simetría con respecto al origen.

Ejemplo. Determina los interceptos y realiza la prueba de simetría para la curva determinada por:

b) Prueba de simetría. Con el eje X: Sustituir (x, y) por (x, -y)
y 2 − 20 x − 20 = 0

y 2 − 20 x − 20 = 0
Traza la gráficacorrespondiente. Procedimiento. a)Para calcular los interceptos:
y 2 − 20 x − 20 = 0 x=0 y − 20 = 0
2

(− y )2 − 20 x − 20 = 0
y 2 − 20 x − 20 = 0

La ecuación resultante de la sustitución es igual a la original, por tanto, sí existe simetría con el eje X. Simetría con el eje Y: Sustituir (x, y) por (-x, y)
y 2 − 20 x − 20 = 0 y 2 − (− 20 x ) − 20 = 0 y 2 + 20 x − 20 = 0

y 2 = 20 y = ± 20 = ±4.5y=0 − 20 x − 20 = 0 − 20 x = 20 20 x=− = −1 20

Los interceptos se localizan en (0, 4.5), (0, -4.5) y (-1, 0)

La ecuación resultante de la sustitución no es igual a la original, por tanto, no existe simetría con el eje Y.

Simetría con el origen: sustituir (x, y) por (-x, -y)
y 2 − 20 x − 20 = 0

(− y )

2

− (− 20 x ) − 20 = 0

•Observa que no se tomaron valores negativos para Xporque al obtener la raíz cuadrada de Y queda un número negativo, que no tiene raíz. •No existen valores para la curva en el intervalo de los valores negativos de X.

y 2 + 20 x − 20 = 0

La ecuación resultante de la sustitución no es igual a la original, por tanto, no existe simetría con el origen Para poder graficar se necesitan más puntos que los interceptos. Aprovechando que ya sabes qué tipode simetría presenta la curva, calcularemos algunos: Punto Punto reflejo
(x, y) (1, ±6.3) (2, ±7.7) (3, ±8.9) (x, -y) (1, ±6.3) (2, ±7.7) (3, ±8.9)

•El valor de x = 0 tampoco se tomó en cuenta en la tabla porque ya está calculado, ya que es un intercepto.

•Ahora sí, ya puedes trazar la gráfica con la información recopilada.

D.R. © Universidad TecMilenio Lázaro Cárdenas #2610 Col. DelPaseo Residencial Monterrey, N.L., 2006.

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Universidad Tec Milenio: Preparatoria PM04400 Matemáticas IV

Asíntotas de una curva.
Una asíntota es una línea recta que se acerca mucho a otra curva o a alguno de los ejes cartesianos, pero sin llegar a tocarlos nunca. Pueden ser verticales (paralelas al eje Y), horizontales (paralelas al eje X) o inclinadas (oblicuas). Si una curva tiene...