Elipse

ELIPSE
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.1 Una elipse que gira alrededor desu eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado
Ecuaciones de la elipse
En coordenadas cartesianas
Forma cartesiana centrada en origen
La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde si a corresponde al ejede las abscisas y b al eje de las ordenadas la elipse es horizontal, si es al revés, entonces es vertical. El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.
Forma cartesiana centrada fuera del origen
Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (h,k), la ecuación es:

Encoordenadas polares
Forma polar centrada en origen
En coordenadas polares, con origen en su centro, la ecuación de la elipse es:
(epc 1)
Una ecuación más elegante que la anterior (pero que obliga a pre-calcular la excentricidad ), es:
(epc 2)
Para ambas ecuaciones a es el semieje mayor, b es el semieje menor de la elipse, θ es el ángulo polar y para la (epc 2) ε es la excentricidad.
Si nose quiere pre-calcular la excentricidad convendrá utilizar la ecuación (epc 1), en caso contrario utilizar la ecuación (epc 2).
Formas polares centradas en un foco

Coord. polares sobre un foco.
En coordenadas polares, con el origen en uno de sus focos, la ecuación de la elipse es:
(501)
Para el otro foco:
(502)

"Semi-latus rectum" (en verde) de la elipse.
En el caso un poco másgeneral de una elipse con un foco en el origen y el otro foco en la coordenada angular , la forma polar es:
(503) }
El ángulo de las ecuaciones (501),(502) y (503) es la llamada anomalía verdadera del punto y el numerador de las mismas es el llamado semi-latus rectum de la elipse, normalmente denotado . El semi-latus rectum es la distancia entre un foco y la misma elipse sobre una línea perpendicularal semieje mayor que pasa por el foco.
Formas paramétricas
La ecuación paramétrica de una elipse con centro en y siendo el semieje mayor y el menor, es:

con no es el ángulo θ del sistema de coordenadas polares con origen en el centro de la elipse, sino la anomalía excéntrica de la elipse. La relación entre y θ es
.
La ecuación paramétrica de una elipse con centro en en la que el parámetrosea concordante con el ángulo polar respecto al centro desplazado es:

con . El parámetro es el ángulo de un sistema polar cuyo origen está centrado en .
Área interior de una elipse
El área de la superficie interior de una elipse es:

Siendo a y b los semiejes.4
Perímetro de una elipse
El cálculo del perímetro de una elipse requiere del cálculo de integrales elípticas de segunda especie.Sin embargo, el matemático Ramanujan dio una expresión sencilla que se aproxima razonablemente a la longitud de la elipse, pero en grado menor que la obtenida mediante integrales elípticas. Ramanujan, en su fórmula, utiliza el “semieje mayor” (a) y el “semieje menor” (b) de la elipse. Expresión aproximada del perímetro de una elipse:

Componentes de la elipse
Focos
Son los puntos fijos F y F'.Eje focal
Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario
Es la mediatriz del segmento FF'.
Centro
Es el punto de intersección de los ejes.
Radios vectores
Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.
Distancia focal
Es el segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal.
Vértices
Son los puntos de intersección de la elipse...