elipse

Elipse

Concepto: Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano, tal que la suma de las distancias a dos puntos fijos (focos) situados en el plano es una cantidad constante.Elementos de la elipse

Focos
Son los puntos F1 y F2 o F’ y F. Punto asociado con una elipse.

Eje focal
Es la recta que pasa por los focos.

Vértices
Son los puntos V1 y V2 o V’ y V en donde eleje focal corta a la elipse.

Centro
Es el punto medio entre los focos.

Demostración de la ecuación de la elipse con centro en el origen.

Coordenadas del centro (0,0)
Coordenadas del puntoP (x,y)
Coordenada de F’ (-c,0)
Coordenada de F (c,0)
La característica de la elipse dice que la distancia de F’ a P sumada a la distancia de P a F debe ser igual a 2a, o sea que F’P+PF=2a

Paracalcular la distancia entre 2 puntos en este caso de F’ a P y de P a F se utiliza la fórmula de la distancia entre 2 puntos.
d=
De tal manera que quedaría
+ + =2ª
A continuación se deberáelevar al cuadrado para eliminar la raíz, pero debe hacerse de ambos lados, entonces como en lado izquierdo se tienen 2 raíces, de manera más simple pasamos una hacia el otro lado de la igualdad.

( =(2a-

Aplicando binomio al cuadrado y eliminando y/o agrupando términos semejantes nos queda la siguiente forma:

4cx=4

Como todos los términos contienen un 4, entonces podemos dividir a todosentre 4, así la ecuación no se altera y nos queda de una forma más sencilla.
cx=
Siendo esta la ecuación que resulto de haber dividido entre 4, podemos ahora si elevar al cuadrado para poder eliminarla raíz que se encuentra del lado derecho de la igualdad.

(cx-=


Eliminando la raíz y desarrollando los binomios al cuadrado que quedan en ambos lados de la igualdad queda lo siguiente:Eliminamos términos semejantes



Posterior a esto utilizaremos la fórmula de . La substituiremos en la ecuación anterior y después procederemos a agrupar y/o eliminar términos semejantes....