elipse

Geodesia Matemática.
1.- GEOMETRÍA DE LA ELIPSE.
1.- Ecuaciones de la elipse.
1.1 Ecuación polar con el polo en un foco de la elipse.
1.2 Ecuación cartesiana de la elipse.
2.- Afinidad entre laelipse y su circunferencia principal.
3.- La elipse meridiana.
3.1 Ecuaciones paramétricas de la elipse usando la latitud reducida.
3.2 Relación entre la latitud geocéntrica y la reducida.
3.3Vector tangente a la elipse en el punto M.
3.4 Vector normal a la elipse en el punto M
3.5 Relación entre la latitud geodésica y la reducida
3.6 Coordenadas del punto de corte de la normal con el ejeOY.
3.7 Gran normal.
3.8 Curvatura de la elipse en un punto

GEOMETRÍA DE LA ELIPSE.
1.- Ecuaciones de la elipse.
1.1 Ecuación polar con el polo en un foco de la elipse.
Sea O el centro desimetría de
la elipse. Origen del sistema
cartesiano cuyos ejes son los
ejes de la elipse.
a longitud OA del semieje
mayor
b longitud OB del semieje
menor
F y F´ los focos.
P (x, y) un puntogenérico de
la elipse.
r1 distancia PF

r2 distancia PF’.
Se verifica

r1 + r2 = 2a
r2 − r1 = ( x + c) 2 + y 2 − ( x − c) 2 + y 2

r22 − r12 = ( x + c ) − ( x − c ) = 4cx
2

r2 − r1 = 2

cx
a

r22 − r12 = ( r2 − r1 )( r2 + r1 ) = ( r2 − r1 )2a = 4cx

2

r2 =

c
x+a
a

r1 = a −

c
x
a

Si consideramos el foco F como polo, y el eje OA como eje polar:
c
c
c2
c
c2r1 cos α = x − − a + a = −( a − x ) + a −
a
a
a
a
a

r1 cosα = x − c
2
2
b2
⎛ c
⎞ a −c
=
r1 ⎜1 + cosα ⎟ =
a
a
⎝ a
⎠

Llamando e =

c
=
a

a 2 − b2
b2
y p=
a2
a

r1=rr=

p
1 + e cos α

(1.1)

1.2 Ecuación cartesiana de la elipse.
Teniendo en cuenta que r1 = a −

c
x y por otra parte r12 = ( x − c ) 2 + y 2 , eliminando r1
a

c 2
x ) = ( x − c ) 2 +y 2 , tras algunas operaciones se llega
a
c2
b2
a 2 − c 2 = (1 − 2 ) x 2 + y 2 como b 2 = a 2 − c 2 entonces b 2 = 2 x 2 + y 2
a
a

resulta ( a −

x2 y2
+
=1
a 2 b2

2 Afinidad entre...