elipse

Relación entre la distancia focal y los semiejes
 


Excentricidad de la elipse
La excentricidad es un número que mide el mayor o menor achatamiento de la elipse. Y es igual al cocienteentre su semidistancia focal y su semieje mayor.
















Ecuaciones de la elipse


Ecuación reducida de la elipse
Tomamos como centro de la elipse el centro decoordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:

F'(-c,0) y F(c,0)
Cualquier punto de la elipse cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizandolas operaciones llegamos a:



Ejemplo
Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.



Semieje mayorSemidistancia focal

Semieje menor

Ecuación reducida

Excentricidad



Ecuación reducida de eje vertical de la elipse


Si el eje principal está en el de ordenadas se obtendrá lasiguiente ecuación:

Las coordenadas de los focos son:
F'(0, -c) y F(o, c)
Ejemplo
Dada la ecuación reducida de la elipse , hallar las coordenadas de los vértices de los focos y laexcentricidad.








Ecuación de la elipse
Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuación dela elipse será:





Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Donde A y B tienen el mismo signo.


Ejemplos
Hallar la ecuación de laelipse de foco F(7, 2), de vértice A(9, 2) y de centro C(4, 2).





Dada la elipse de ecuación , hallar su centro, semiejes, vértices y focos.









Ecuación de eje verticalde la elipse
Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(X0, y+c) y F'(X0, y0-c). Y la ecuación de la elipse será: