Elipse

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Capítulo

7

LA ELIPSE
Hallar la ecuación de la elipse cuya longitud de la cuerda normal (lado
recto) es 5 vértices (± 10,0 ) .
Solución:õ:

Sabemos :

x2

y2
+ 2 =1 
→
a2 b

!

Luego del enunciado :
!

CN =

!

a = 10

2 b2
= 5 "! b 2 = 25
a
!

Por lo tanto en

a 2 = 100

!:

õ:

x2y2
+
=1
100 25

49

Capítulo 7. LA ELIPSE

Hallar la ecuación de la elipse, cuyo eje es coincidente con x = 1 , C = (1,5 ) ,
F = (1,8 ) ; suma de las distancias focales de unpunto de la elipse es 12.

Solución:

õ:

Del enunciado deducimos :
Pero : 2a = 12

"!

a=6

"!

"!

Sabemos : b 2 = a 2 − c 2

50

b2

a2

=1

a 2 = 36

c2 = 9Luego : c = CF = 3

Por lo tanto :

(x − h)2 + (y − k )2

õ:

"!

b 2 = 36 − 9 = 27

(x − 1)2 + (y − 5)2
27

36

=1

"! b 2 = 27

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICAPLANA

Reducir la ecuación x 2 + 4 y 2 − 6 x + 16 y + 21 = 0 a la forma ordinaria de
la ecuación de una elipse y determinar las coordenadas del centro, vértices
y focos, las longitudes delos ejes mayor y menor, y la cuerda normal; y la
excentricidad.
Solución:
x 2 + 4 y 2 − 6x + 16y + 21 = 0
Completando cuadrados para x e y :

(x

2

)(

)

− 6x + 9 + 4 y 2 +4y + 4 = −21 + 9 + 16

(x − 3)2 + 4(y + 2)2 = 4
õ:

(x − 3)2 + (y + 2)2
4

1

=1

De la ecuación tenemos : C = (h,k ) = (3,−2)
Luego los vértices de la elipse se obtienen de :!

V = (h ± a,k ) = (3 ± 2,−2) !







V1 = (5,−2)
V2 = (1,−2 )

También :
!

a2 = 4

!

a 2 = b2 + c 2

!

a = ±2
!

!

4 = 1+ c2

! Eje mayor : 2a = 2× 2 = 4
!

b 2 = 1 ! b = ±1

Cuerda Normal : CN =

! Excentricidad : e =

!
!

c2 = 3

!

c2 = ± 3

Eje menor : 2b = 2 × 1 = 2

2b2
2 ×1
=
=1
a
2

c
3
=