Elipse

Elipse
Elipse es una curva cerrada y plana, se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos fijos denominados focos es constante. AF1+AF2= cte=2a.  Su excentricidad es siempre menor que la unidad.
La distancia entre focos se denomina distancia focal (La distancia focal se designa 2c). La suma de distancias de un punto de la curva a los focos es constantee igual a la magnitud del eje mayor o eje real y se designa “2a”. Los focos están situados sobre este eje y a igual distancia de su punto medio. El eje menor o imaginario se designa “2b” y es normal (perpendicular) al real, ambos se cortan en el centro de la elipse y en sus respectivos puntos medios. Las rectas que unen un punto de la curva con los dos focos se denominan radios vectores y sedesignan r y r’.
Existen otra serie de elementos “ocultos” decisivos en el trazado de elipses y tangentes a estas a saber:
La Circunferencia Principal, de diámetro igual al eje mayor y centro en el centro de la elipse.
Circunferencias Focales, de centro en los focos y radio de longitud igual al eje mayor de la elipse.
Si consideramos una recta “sT” tangente a la elipse, observaremos que los puntossimétricos de los focos, respecto de esta tangentes (F1, simétrico de F1 F1), pertenecen a la circunferencia Focal de centro en el otro foco F2.




Elipse. Elementos
Por otra parte, las intersecciones de las proyecciones ortogonales de los focos sobre cualquier tangente trazada a la elipse, pertenecen a la Circunferencia Principal.
Se denomina Diámetro de la Elipse a cualquier cuerda que pase por sucentro. Son Diámetros Conjugados en la elipse aquellos en donde cada uno de ellos divide en dos partes iguales a las cuerdas de la elipse trazadas paralelas al otro. Se cortan en su punto medio. Los ejes son los únicos diámetros conjugados normales entre sí.
Dado un diámetro de la elipse A’B’, el diámetro conjugado con él, es el lugar geométrico de los centros de las cuerdas paralelas a dichodiámetro (1, 2, 3, 4, etc.), estos centros determinan el diámetro conjugado D’C’ del dado.
Mediante dos diámetros conjugados, podremos construir la elipse directamente, o bien obtener los ejes reales de la misma.


Determinación de los focos, conociendo los ejes.
Trazamos los ejes perpendiculares entre sí por su punto medio y con centro en uno de los extremos del eje menor “C” dibujamos un arco de radioigual al semieje mayor que corta a este en F2 y F1, focos de la elipse. Los extremos de los ejes son puntos de la elipse por lo que los radios vectores que concurren en C deben de sumar la longitud del eje mayor, por ser C centro del arco de radio el semieje mayor se verifica efectivamente que F1 C+F2 C=2a

Elipse. Diámetros conjugados y focos
Trazado de elipses.
A continuación estudiaremosalgunos de los métodos que se pueden utilizar para trazar elipses.
Construcción de elipses conociendo los ejes.
A. Método de construcción por puntos (Intersección de radios vectores).
Dibujados los ejes y determinados los focos, situamos arbitrariamente puntos entre uno de los focos y el centro de la elipse sobre el eje mayor (1, 2, 3, etc.). Con radios A-1 y B-1 trazamos 4 arcos de circunferencia decentros F1 y F2. La circunferencia de centro F1 y radio A-1 y la de centro F2 y radio B-1 se cortan en dos puntos de la elipse. Obtenemos dos puntos más con arcos de igual radio pero centros alternativos (F2 para A-1 y F1 para B-1), simétricos de los anteriores respecto a los ejes de la elipse. Con radios A-2 y B-2 procedemos de igual modo y así sucesivamente con el resto de los puntos trazadosentre el foco y el centro de la elipse. Uniendo A, B, C y D, extremos de los ejes que son también puntos de la elipse, con los puntos obtenidos mediante plantilla de curvas, obtenemos el trazado de la elipse.
B. Método de intersección de rectas (Intersección de haces proyectivos).
Trazamos paralelas a los ejes por sus extremos y construimos un paralelogramo rectángulo de este modo. Dividimos el...