Elipse

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva.
Una elipse es la curva cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.1 Una elipse que gira alrededor de su eje menorgenera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.
HISTORIA
La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por Menaechmus, investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Perge. El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte eraovalada, aunque más tarde descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra «focus» y publicó su descubrimiento en 1609. Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una órbita elíptica alrededor del Sol.
ELEMENTOS
La elipse posee un «eje mayor», trazo AB (que equivale a ), y un «eje menor», trazo CD (que equivalea ); la mitad de cada uno de esos ejes recibe el nombre de «semieje», de tal manera que se los denomina «semieje mayor» y «semieje menor», respectivamente.
Sobre el «eje mayor» existen dos puntos  y  que se llaman «focos».
El punto  es uno que pertenezca a la «elipse».
PUNTOS DE UNA ELIPSE
Si F1 y F2 son dos puntos del plano y d es una constante mayor que la distancia F1 F2, unpunto Q pertenecerá a la elipse, si:

donde  es el semieje mayor de la elipse.
EJES DE LA ELIPSE
Eje mayor (2 a) es la distancia mayor entre dos puntos adversos. En la figura, longitud del segmento AB.
La medida a es la mitad del eje mayor, o sea es el semieje mayor. La distancia del centro de la elipse al punto A o al punto B.
El resultado constante de la suma de las distancias de cualquier punto a los focosequivale al eje mayor.
Obsérvese que d(AF2) + d (AF1) = d(AF2) + d (BF2)= AB
La medida b es la mitad del eje menor, o sea es el semieje menor, la distancia del centro al punto C o al punto D.
EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE
La excentricidad de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (segmento que va del centro de la elipse a uno de sus focos), denominada por la letra 'c', y su semiejemayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.

 , con (0 < e < 1)

Dado que  , también vale la relación:

o el sistema:

La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.
CONSTANTE DE UNA ELIPSE
En una elipse, por definición, la suma de la longitud de ambos segmentos (azul + rojo) es una cantidadconstante, la cual siempre será igual a la longitud del «eje mayor».
En la elipse de la imagen, la constante es 10. Equivale a la longitud medida desde el foco  al punto  (ubicado en cualquier lugar de la elipse) sumada a la longitud desde el foco  a ese mismo punto . (El segmento de color azul sumado al de color rojo).
El segmento correspondiente, tanto trazo  (color azul), como al  (color rojo),se llaman «radio vector». Los dos «focos»equidistan del centro . En la animación, el punto  recorre la elipse, y en él convergen ambos segmentos (azul y rojo).
ECUACIONES DE LA ELIPSE
La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse (a corresponde al eje de las abscisas, b al eje de las ordenadas). Elorigen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.
Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (x1, y1), la ecuación es:

En coordenadas polares una elipse (centrada en uno de sus focos) viene definida por la ecuación:

También en coordenadas polares una elipse (con...