Elipse2

Marco teórico
¿Qué es la elipse? Es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante, a estos puntos fijos se les llama focos de la elipse. 
En otra definición se le llama elipse al lugar geométrico de un punto ¨P¨ que se mueve en el plano, de tal modo que la suma de las distancias del punto ¨P¨ a dos punto fijos F y F’ (llamados focos), se mantienenconstante.
Siendo ¨P¨ un punto arbitrario de la elipse, se conviene indicar la suma constante como PF + PF´= 2ª
La recta que contiene a los focos se le llama EJE FOCAL o EJE MAYOR.
En cambio, la recta que pasa por el punto medio del segmento F´F, se le conoce como EJE MENOR.
El punto donde se cortan los ejes es el centro ¨C¨ de la elipse.
Los puntos donde la elipse corta a los ejes A,A’,B,B’ sellaman vértices.
Magnitudes:
Eje Mayor: A’A=2a
Eje Menor: B’B= 2b
Distancia focal: F’F=2c
Semieje menor CB=b
Semieje mayor CA=a
Teorema de Pitágoras en el triángulo CFB se tiene a²=b²+c²

¿Cuáles son los puntos de la elipse?
Los vértices son los puntos que se ubican en los extremos del eje mayor.
Los focos son los puntos F1 y F2 o bien F y F’.
El eje mayor es el segmento de recta que pasa por losfocos y cuyos extremos son los puntos en que interseca a la elipse.
El eje menor es el segmento de recta que pasa por el centros de la elipse, perpendicular al eje mayor y cuyos extremos son B1,B2 o B’B.
La distancia focal en la medida de segmentos de recta que une a los dos focos y cuya medida es 2c.
El lado recto es el segmento de recta perpendicular al eje mayor, que pasa por alguno de los focos ycuyos extremos son los puntos en los que interseca la elipse.
El centro es el punto medio del eje mayor y el eje menor. Se puede ubicar en el origen (0,0) o fuera de el (h.k).
¿Qué es la excentricidad de la elipse?
La excentricidad de un elipse (e) es un valor que determina la forma de la elipse, en el sentido si será redondeada o si se aproxima a un segmento. Su fórmula es:
Una elipse será másredondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.

Elipses horizontales y vertical.
La elipse horizontal  tiene el eje mayor (2a) en el eje de abscisas y el menor (2b) en el de ordenadas.
Cuando el eje mayor se encuentre en el de ordenadas y el menor en el de las abscisas decimos que se trata de una elipse vertical.

Ecuaciones de la elipse
Las figuras geométricas tienen unaexpresión que las caracteriza de las otras cónicas. Una de estas expresiones es la que se conoce como ecuación ordinaria de la cónica, que en este caso es la ecuación ordinaria de la elipse.
Elipse con centro al origen (0,0).
La ecuación reducida o canónica de la elipse con centro en el origen de coordenadas
Elipse Horizontal


ElipseVertical
y² + x² =1
a² b²


Elipse con centro fuera del origen (h,k).
Si el centro de la elipse se encuentra fuera del origen del plano y su eje focal es paralelo al eje x (horizontal), se obtiene la siguiente ecuación:

(x – h)2 + (y – k)2 = 1
  a2  b2 


Si el centrode la elipse se encuentra fuera del origen del plano y su eje focal es paralelo al eje y, se obtiene la siguiente ecuación:

(x – h)2 + (y – k)2 = 1
  b2  a2 



Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:




Ejercicios
Centro en el origen:
Obtener la ecuación de la elipse cutos focos son F’(-5,0) F(5,0) y lalongitud del eje mayor es 12.
C(0,0)
L.. eje mayor 2a=12 a=12/2 a=6
Distancia focal F’F=2c 2c=10 c=10/2 c=5
b2=a2-c2 b2= (6)2 – (5)2 b2=36-25 b2=11 b= 11
x² + y² =1 36x2+25x2 -900=0
36 25



Centro fuera al origen (h,k).
1) Hallar la ecuación dela elipse con C(-1,-1) V1(5,-1) y e=2/3
C=2 a=3 b2=(3)2-(2)2 b=5
(x – h)2 + (y – k)2 = 1...