Elipses

I NSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA

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LA
ELIPSE

6.1 DEFINICIONES
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos,
llamados focos , es constante.
En la figura 6.1, los focos están representados por los

p

puntos f1 y f 2 . En una elipse, si se suman las distancias

d1 + d 2 se obtiene un valor constante sin importarla

d1

ubicación del punto p.
Por esa razón es fácil trazar una elipse: se clavan un
par de alfileres en el sitio de los focos, se amarra un
cordel que pase por esos dos alfileres y que quede un
tanto flojo. Luego con un lápiz, como lo muestra la
figura 6.2, se tensa el cordel y se va desplazando dicho
lápiz sobre el papel.

f1

* La letra a representa la distancia que hay desde elcentro hasta el extremo de la elipse por su parte más
alargada. Ver la figura 6.3.

f2

figura 6.1

Se obtiene una elipse porque la longitud del cordel
amarrado es siempre la misma, no importa en dónde se
encuentre el lápiz. Si a dicha longitud se le resta la
distancia también constante que hay entre ambos focos, se
obtiene un segmento de cordel de longitud constante, que
es la suma delas longitudes de cada foco al lápiz. Concuerda justamente con la definición de elipse.
La simbología que se utiliza para representar las partes
fundamentales de la elipse es la siguiente:

d2

mover e l láp

f1

iz

f2

figura 6.2

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L A ELIPSE

* La letra b representa la distancia que hay desde el centro hasta el extremo de la elipse por
su parte más achatada ocorta.
* La letra c representa la distancia que hay desde el centro hasta cada foco.
Las características o partes principales de una elipse son (ver figura 6.3):
* Vértices: Son los puntos extremos más alejados del centro.
* Eje mayor: Es la distancia de un vértice hasta el otro y equivale a 2a.
* Eje menor: Es la distancia de extremo a extremo medida por su parte más angosta y
equivale a 2b.Distancia focal: Es la distancia que hay de un foco al otro foco y equivale a 2c.

b
eje
menor

V1

f2

f1

V2

lado recto

a

c
eje mayor
figura 6.3

* La posición del centro, cuyas coordenadas son

( h, k ) .

Para evitar confusiones con la

distancia del centro al foco a la que se le nombró con la letra c minúscula, al centro de la
elipse se le asigna la letra O(mayúscula).
* Lado recto: Es la cuerda perpendicular al eje mayor y que pasa por el foco.
Hay dos posibilidades de obtener una elipse: horizontal o vertical.

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A partir de las coordenadas del centro

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( h, k ) , de la longitud del semieje mayor

a y de la

longitud del semieje menor b se pueden obtener o deducir todas las característicasanteriores,
las cuales están dadas en la ecuación particular de la elipse, que de hecho son dos, según se trate
de una elipse horizontal o de una elipse vertical.

La ecuación particular de la elipse es:

( x − h)

2

+

a2

(y − k)

2

=1

b2

si el eje focal es horizontal

=1

si el eje focal es vertical

o bien

( x − h)
b2

2

+

(y − k)
a2

2

endonde debe cumplirse que a > b

Para saber si se trata de una elipse horizontal o una elipse vertical, basta comparar los dos
denominadores de la ecuación particular. Como a > b , el denominador mayor debe ser a2. El
eje mayor es paralelo al eje de la variable en donde está a.
Igual que en las anteriores cónicas que tienen términos al cuadrado, h significa el
desplazamiento horizontal delcentro y k el desplazamiento vertical del centro. El significado
de las letras a y b de los denominadores están definidos en la figura 6.3.
Existe una relación entre las tres constantes a, b y c, que a partir del teorema de Pitágoras
está dada por la fórmula

a 2 = b2 + c2
de donde, despejando cada literal, se obtiene:

a=

b2 + c2

b=

a2 − c2

c=

a2 − b2

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L A...