Elipses
Páginas: 7 (1717 palabras)
Publicado: 12 de julio de 2012
Portada Chirstian mamamonda
Introducción
Introducción
La elipse es una línea curva, cerrada y plana cuya definición más usual es:
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante. |
Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un planooblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.
Historia
Historia
La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por Menecmo, investigada por Euclides, y su nombre seatribuye a Apolonio de Perge. El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque más tarde descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra «focus» y publicó su descubrimiento en 1609. Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahora lleva su nombretrazaba una órbita elíptica alrededor del Sol.
Puntos de una elipse
Puntos de una elipse
La elipse y algunas de sus propiedades matemáticas.
La elipse y algunas de sus propiedades matemáticas.
Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2 en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a lalongitud del diámetro mayor, (PF1 + PF2 = 2a).
Si F1 y F2 son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la distancia F1F2, un punto P pertenecerá a la elipse si se cumple la relación:
donde es la medida del semieje mayor de la elipse.
Ejes de una elipse
Ejes de una elipse
El eje mayor 2a, es la mayor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. El resultado constante de lasuma de las distancias de cualquier punto a los focos equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre si.
Excentricidad de una elipse
Excentricidad de una elipse
La excentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (segmento que va del centro de la elipse a unode sus focos), denominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.
, con
Dado que , también vale la relación:
o el sistema:
La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.3 La designación tradicional de la excentricidad es la letra griega ε llamada épsilon.Excentricidad angular de una elipse
Excentricidad angular de una elipse
(No se debe usar la letra e para designarla, porque se reserva para la base de los logaritmos naturales o neperianos.
La excentricidad angular es el ángulo para el cual el valor de la función trigonométrica seno concuerda con la excentricidad , esto es:
Constante de la elipse
Constante de la elipse
En la figura de laderecha se muestran los dos radio vectores correspondientes a cada punto P de una elipse, los vectores que van de los focos F1 y F2 a P. Las longitudes de los segmentos correspondientes a cada uno son PF1 (color azul) y PF2 (color rojo), y en la animación se ilustra como varían para diversos puntos P de la elipse.
Como establece la definición inicial de la elipse como lugar geométrico, para todoslos puntos P de la elipse la suma de las longitudes de sus dos radio vectores es una una cantidad constante igual a la longitud 2a del eje mayor:
PF1 + PF2 = 2a
En la elipse de la imagen 2a vale 10 y se ilustra, para un conjunto selecto de puntos, cómo se cumple la definición.
Directrices de la elipse
Directrices de la elipse
Cada foco F de la elipse está asociado con una recta paralela...
Introducción
Introducción
La elipse es una línea curva, cerrada y plana cuya definición más usual es:
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante. |
Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un planooblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.
Historia
Historia
La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por Menecmo, investigada por Euclides, y su nombre seatribuye a Apolonio de Perge. El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque más tarde descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra «focus» y publicó su descubrimiento en 1609. Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahora lleva su nombretrazaba una órbita elíptica alrededor del Sol.
Puntos de una elipse
Puntos de una elipse
La elipse y algunas de sus propiedades matemáticas.
La elipse y algunas de sus propiedades matemáticas.
Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2 en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a lalongitud del diámetro mayor, (PF1 + PF2 = 2a).
Si F1 y F2 son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la distancia F1F2, un punto P pertenecerá a la elipse si se cumple la relación:
donde es la medida del semieje mayor de la elipse.
Ejes de una elipse
Ejes de una elipse
El eje mayor 2a, es la mayor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. El resultado constante de lasuma de las distancias de cualquier punto a los focos equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre si.
Excentricidad de una elipse
Excentricidad de una elipse
La excentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (segmento que va del centro de la elipse a unode sus focos), denominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.
, con
Dado que , también vale la relación:
o el sistema:
La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.3 La designación tradicional de la excentricidad es la letra griega ε llamada épsilon.Excentricidad angular de una elipse
Excentricidad angular de una elipse
(No se debe usar la letra e para designarla, porque se reserva para la base de los logaritmos naturales o neperianos.
La excentricidad angular es el ángulo para el cual el valor de la función trigonométrica seno concuerda con la excentricidad , esto es:
Constante de la elipse
Constante de la elipse
En la figura de laderecha se muestran los dos radio vectores correspondientes a cada punto P de una elipse, los vectores que van de los focos F1 y F2 a P. Las longitudes de los segmentos correspondientes a cada uno son PF1 (color azul) y PF2 (color rojo), y en la animación se ilustra como varían para diversos puntos P de la elipse.
Como establece la definición inicial de la elipse como lugar geométrico, para todoslos puntos P de la elipse la suma de las longitudes de sus dos radio vectores es una una cantidad constante igual a la longitud 2a del eje mayor:
PF1 + PF2 = 2a
En la elipse de la imagen 2a vale 10 y se ilustra, para un conjunto selecto de puntos, cómo se cumple la definición.
Directrices de la elipse
Directrices de la elipse
Cada foco F de la elipse está asociado con una recta paralela...
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