Elipses

COLEGIO SANTA CRUZ ALGEBRA Y MODELOS ANÁLITICOS
RICARDO CARRILLO TERCERO MEDIO
UNIDAD Nº 2 2011
GUÍA Nº 2
ES EL MOMENTO DE CONOCER COMO FUNCIONA OTRA CÒNICA

LA ELIPSE

Las elipses son las curvas que se obtiene cortando una superficie cónica con un plano que no es paralelo a ninguna de sus generatrices.Se llama elipse al lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos F Y F`, llamados focos, es una constante. La línea que une los dos focos se llama eje principal de la elipse y la mediatriz de los mismos eje secundario. Se llaman vértices de la elipse a los puntos donde ésta corta a sus ejes. El punto medio de los dos focos se llama centro de la elipse y ladistancia entre ellos se llama distancia focal.
Para obtener una forma más simple de la ecuación de una elipse, se colocan los focos sobre el eje x  en los puntos (-c,0) y (c,0) , para que el origen esté en la mitad de la distancia entre los focos. Finalmente si tomamos que la suma de las distancias desde un punto sobre la elipse a los focos es igual a 2a, se tiene: , de donde se deduce: ;, que corresponde a la ecuación principal de la elipse.
Cuando la elipse, se encuentra en la posición opuesta a la anterior, manteniendo el origen como centro, sus focos y vértices se ubican en el eje Y; su ecuación está dada por: ;

Si observamos la figura de la derecha podemos constatar que además se forma un triángulo rectángulo que responde a la siguiente relación:


LADORECTO (LR): es la cuerda que pasa por el foco y que es perpendicular al eje focal de la elipse. Se calcula de la siguiente manera:

EXCENTRICIDAD (e):
La excentricidad de la elipse es igual al cociente entre su semidistancia focal y su semieje mayor.

Si la elipse está centrada en (h,k) sus ecuaciones están dadas por: ó bien Ax2 + By2 + Cx + Dy + F =0 ; A < B ó bien Ax2 +By2 + Cx + Dy + F =0 ; A > B |

Ejemplo: 1) Encuentro los elementos de la elipse
a= 5 y b = 3. Además como se sabe que , entonces el valor de c es 4.
Los elementos son:
Focos: F1 (4,0) y F2 = (-4,0) ;
Vértices: V1 (5,0) y V2 (-5,0) ;
Eje Mayor: equivale a 2a entonces es igual a 10;
Eje Menor: equivale a 2b, y es igual a 6;
Lado Recto: ;
Excentricidad:2) Determino la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos (x,y) del plano, cuya suma de distancias a los puntos fijos (3,1) y (-5,1) es 20.
Sabemos, por definición, que el LG será una elipse con focos en los puntos dados y que:
2a = 20 ; a = 10 ; F1 (3,1) ; F2(-5, 1). Como el centro es el punto medio del segmento que une los focos, entonces: . Luego C(-1,1)
Ademásd(F2,C) = d(F1,C) = c = 4 y a =10, entonces en , b2 = 84. El eje focal es paralelo al eje X, entonces la ecuación pedida es: o su equivalente:

Ejercicios Propuestos:
1) Represento gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes elipses.
x2 + 2y2 – 2x + 8x + 5 = 0 25x2 + 9y2 – 18y – 216 = 0

2) Calculo los elementos delas siguientes elipses:

a) b) c)

d) e)

3) Determino la ecuación de cada elipse, conocidos los siguientes elementos:
a) Focos; a = 4 b) Focos e = c) Focos; eje mayor = 26
d) Vértices ; lado recto = 5 e) Focos; eje menor =

f) Centro (0, 0); foco (3, 0); vértice (5, 0).  g) Centro (0, 0); foco (-1, 0); vértice (3, 0). 

h) Centro (0, 0); foco (0, 1);vértice (0, -2). i) Focos (± 2, 0); longitud del eje mayor 6. 

j) Focos en (0, ± 3); las intersecciones con el eje x son ± 2. 

k) Centro en (0, 0), vértice en (0, 4); b = 1.  l) Vértices en (± 5, 0); c = 2. 

m) Centro (2, -2), vértice (7, -2); focos (4, -2).  n) Focos (5, 1) y (-1, 1); longitud eje mayor es 8. 

o) Centro en (1, 2); focos en (1, 4); pasa por el punto (2, 2). ...