Elipses

“ELIPSES”

Definición de elipse: Una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano, la suma de cuyas distancias a dos puntos fijos (los focos) en el plano es una constante positiva.
Lasuma de las distancias d(P,F) y d(P,F’) es constante, así se traza una elipse con focos en F y F’.
El punto medio del segmento F F’ se denomina centro de la elipse. Si d(F, F’) se aproxima a cero, laelipse es casi circular. Si F= F’, obtenemos un circulo con centro en F.
Para obtener una ecuación simple para una elipse, elegimos el eje x como la recta que pasa por los dos focos F y F’, con elcentro de la elipse en el origen.
Para obtener puntos que no están en el eje x, debemos tener 2a > 2c; por definición, P(x,y) está sobre la elipse si y solo si las siguientes ecuaciones sonverdaderas:
D(P,F) + D(P,F’)=2a
√(x-c)2 + (y-0)2 + √(x+c)2 + (y-0)2 = 2a
√(x-c)2 + y2 = 2a - √(x+c)2 + y2
Al elevar al cuadrado ambos lados de la ultima ecuación, y sustituyendo nos conduce a lasiguiente ecuación:
X2 + Y2 = 1
a2 b2

Como c > 0 y b2 = a2 – c2, se concluye que a2 > b2 y entonces a >b. Hemos demostrado que las coordenadas de todo punto (x,y) en la elipse de lasiguiente figura satisface la ecuación(x2/a2)+(y2/b2) =1.

Podemos encontrar las intersecciones en x de la elipse al hacer y=0 en la ecuación. Los puntos V(a,0) y V’(-a,0) en la grafica sedenominan vértices de la elipse. El segmento de recta de V,V’ se denomina eje mayor. El segmento entre M’ (0, -b) y M (0, b) se denomina eje menor de la elipse.
De manera semejante, si consideramos losfocos en el eje y, y obtenemos la ecuación
X2 + Y2 = 1
b2 a2
En este caso los vértices de la elipse son (0+-a) y los puntos extremos del eje menor son (+-b, 0)

Ecuaciones estándar de unaelipse con centro en el origen
La grafica de:
X2 + Y2 = 1 o X2 + Y2 = 1
a2 b2 b2 a2
donde a>b>0, es una elipse con centro en el origen. La...