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Matrices

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS
MATRICES
DEFINICIÓN DE MATRIZ
Una matriz es un conjunto de números, objetos u operadores, dispuestos en un arreglo bidimensional de
renglones y columnas, encerrados entre paréntesis rectangulares, que obedecen a ciertas reglas
algebraicas.
Ejemplos de matrices:

1 −8
6 10  ,



a
c

e

g

1 5
7
 0 − 1 2 ,


13 − 4 3



b
d
,
f

h

[3 + 2i

5 − 7i]

Cada una de las partes integrantes del arreglo es llamado elemento de la matriz y su localización en el
arreglo es identificado por un sistema de doble subíndice, en el cual el primer subíndice indica el renglón
y el segundo subíndice indica la columna. a11
a
 21
A =  a31

 ⋮
 an1


a13 … a1m 
a23 … a2 m 

a33 … a3m 

⋮
⋮
⋮ 
an 3 … anm 


a12
a22
a32
⋮
an 2

En donde el elemento

a ij está localizado en el renglón i-ésimo y la j-ésima columna del arreglo A .

Una matriz que tiene
como matriz de orden

n
n

renglones y
por m ).

m

columnas se dice que es una matriz de orden

nxm(se lee

Cuando se trata de matrices muy grandes se representan con una sola letra mayúscula, o por un solo
elemento con doble índice:

[ ]

A = aij
donde

i va desde 1 hasta n y j va desde 1 hasta m

Una matriz con un solo renglón o con una sola columna es conocida como vector renglón o vector
columna respectivamente. Por ejemplo, la matriz B es un vector renglón de 1× 5 y la matriz Ces un
vector columna de

3× 1 :
B = [b1 b2

b3

b4

b5 ] ,

1

 c1 
C = c 2 
 
 c3 
 

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Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

Una matriz es cuadrada si posee el mismo número de renglones y de columnas:
Ejemplo.

1 
 4 −2 6
− 7 0 − 8 − 3 

D=
 1 10 5
4 


 3 − 4 9 − 11 4×4
Ladiagonal principal de una matriz cuadrada es el conjunto de elementos que aparecen sobre la diagonal del
arreglo que va desde el extremo superior izquierdo al extremo inferior derecho, es decir, aquellos elementos
a ii . En el ejemplo anterior los elementos de la diagonal principal son 4, 0, 5, − 11 .
La traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de su diagonal principal. Se denotacomo

tr ( A) .

Ejemplo.
Para la matriz anterior, su traza es:
La transpuesta de una matriz
las columnas de

tr (D) = 4 + 0 + 5 + (− 11) = −2

A es la matriz designada por A' ó AT en donde los renglones de A son

A T , esto es, si:

[ ]

A = aij

[ ]

⇒ AT = a ji

Ejemplos.

 5 −1 2 
− 7 3 9 
 ;
a) E = 
− 2 0 8 


 6 − 4 11 4×3
a
f

b) F = 

bc

d

g

h

i

 5 −7 −2 6 
E = − 1 3
0 − 4


2
9
8 11  3×4


T

a
b

F T = c

d
e


e
;
j  2×5


f
g

h

i
j  5×2


Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y todos los elementos de la matriz son
idénticos a sus correspondientes elementos de la otra matriz.
Ejemplo.

8

Q=2
12

2

4 − 13 0 8 
P=
 ;
6 1 − 2 5 − 7  2×5
P=Q
2

6
6
4
4

−

9
3
14
−7

0
2
15
3

− 16 
−2 
− 28 

4  2× 5

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Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

OPERACIONES CON MATRICES
Suma
La suma de matrices

C = A+ B

se define como

cij = aij + bij . Esto es, la suma de matrices es igual a

la suma delos elementos correspondientes de ambas matrices que tienen el mismo orden.
Ejemplo.

5 
 2 6 −7 0 
− 6 8 − 2
A=
 ; B =  4 − 2 1 − 10 
− 1 11 3 − 4 2×4

 2×4
5 
 − 4 14 − 9
A+ B = 
9
4 − 14  2×4
3

La operación suma cumple con las siguientes propiedades:

( A + B ) + C = A + (B + C )
Propiedad conmutativa: ( A + B) = (B + A)

Propiedad asociativa:...