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Traza (álgebra lineal)

Traza de una matriz de 4×4.
En álgebra lineal, la traza de una matriz cuadrada A de nxn está definida como la suma de los elementos de la diagonal principal de A. Esdecir,
tr(A)=a11+a22+⋯+ann
donde aij representa el elemento que está en la fila i-ésima y en la columna j-ésima de A.
Debido al especial comportamiento de la traza de una matriz al cambiar de basepuede definirse unívocamente la traza de una aplicación lineal, independientemente de cual sea la base elegida. si un espacio vectorial de dimensión finita está dotado de un producto escalar, y setiene una base ortonormal entonces la traza de un endomorfismo de dicho espacio viene dada por:
tr f:=∑k⟨f(ek),ek⟩
Puede comprobarse que si Af es la matriz de dicha aplicación respecto a dicha basela cantidad anterior es igual a la traza de la matriz A. Y de hecho si Bf es la matriz de la misma aplicación respecto a cualquier otra base ortonormal se tiene:
tr f=tr Af=tr Bf
Índice  [ocultar] 
1 Propiedades de la traza de una matriz2 Traza de un operador lineal3 Véase también4 Enlaces externosPropiedades de la traza de una matriz[editar]
La traza es un operador lineal:tr(A+B)=tr(A)+tr(B)
tr(rA)=r(tr(A))
siendo A y B matrices cuadradas, y r un escalar.
Como la diagonal principal no se ve afectada al transponer la matriz,
tr(AT)=tr(A)
Si A es una matriz de n×m y B unamatriz de m×n, entonces
tr(AB)=tr(BA)
Para demostrarlo, tenemos en cuenta que el producto de las matrices A y B viene dado por
[AB]ij=∑k=1m[A]ik[B]kj
con lo cual, podemos expresar la trazade AB como
tr(AB)=∑i=1n[AB]ii=∑i=1n∑k=1m[A]ik[B]ki
y teniendo en cuenta la propiedad asociativa del sumatorio
tr(AB)=∑k=1m∑i=1n[A]ik[B]ki=∑k=1m∑i=1n[B]ki[A]ik=∑k=1m[BA]kk=tr(BA)
Notar que AB es una matrizcuadrada de n×n, mientras que BA es una matriz cuadrada de m×m.
Sean A,B,C matrices cuadradas de orden n×n. Entonces las traza del producto ABC tiene la propiedad de ser cíclica; es decir...